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1、极限与连续xy242).x从2的右边(x>2)无限趋近于2:…0.000040.00040.0040.040.412.25
2、y-4
3、…4.000044.00044.0044.044.416.25…2.000012.00012.0012.012.12.5x从表和图象都可以看出:当自变量x从x轴上表示2的点的右边无限趋近于2时,函数的值,无限趋近于4.2.5从上面两种情况来看,当x无限趋近于2时函数的函数值无限趋近于4.因此,称为当x无限趋近于2时,函数的极限为4.记作:o再讨论当x无限趋近于1(但不等于1)时
4、,函数的变化趋势.函数的定义域不包括即在处无定义但x可以从x轴上点x=1的左,右两边无限趋近于1.所以,当x无限趋近于1(但不等于1)时,y的值无限趋近于2.因此,当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数的极限是2.记作:21-101xy即由于定义：当自变量x无限趋近于常数(但不等于)时,如果函数无限趋近于一个常数就说当x趋近于时,函数的极限是记作:也可记作:也叫做函数在点处的极限.例1、当时,写出下列函数的极限:解:(4)y=5是常数函数,函数值始终等于常数5.有函数极限的定义,容易得到一般地,设C为常数,
5、则例2、写出下列极限的值：对于极限表达式，中的，应怎样理解?应理解为x可以用任何方式无限趋近于，其中包括:1）从表示的点的左边无限趋近于；2）从表示的点的右边无限趋近于；3）从表示的点的两侧交错地无限趋近于；总之，不管以哪种方式趋近，只要，就有下面讨论函数的“单侧”极限,即自变量x只能从表示的点的一侧无限趋近于是函数的极限.2.函数的左右极限:x11-1y当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数无限趋近于-1；当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数无限趋近于1.由于x从不同方向无限趋近于0时,所无限趋近的值不
6、同,所以,在x=0处无极限.即考察函数，当x无限趋近于0时，函数的变化趋势？x11-1yO考察函数，当x无限趋近于0时，函数的变化趋势？考虑到函数但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数就会无限趋近于一个确定的常数.当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数无限趋近于－1.比如:由此,我们得到单侧极限的定义.一般地,如果当x从点左侧(即)无限趋近于时,函数无限趋近于常数就说是函数记作在点处的左极限,就说是函数记作在点处的右极限,一般地,如果当x从点右侧(即)无限趋近于时,函数无限趋近于常数由函数在
7、一点处的左、右极限定义可知,对于函数根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出x11-1y例：写出下列函数的左右极限，并判断哪些函数在x=0处有极限？就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，也可记作:当当也可记作:就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，类似的给出无穷极限的定义:也可记作:当如果=a,且=a,那么就说当x趋向于无穷大时,的极限是a,
8、记作且例3．求下列极限:（3）（4）（1）（2）那么如何求?1.11.011.00110.9990.990.9x考察下表1.455561.495051.49951.51.500501.505051.55455观察该极限与上题极限之间存在关系吗?如果，那么函数极限运算法则：事实上我们有也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为0）。注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.（C为
9、常数）由不难得到：注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.如果，那么同样有函数极限运算法则：利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限.用上面的运算法则可求：例4、求解:解：通过例1、例2同学们会发现：①函数f（x）在处有定义;②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把x=x0代入函数解析式中，就得到极限值.------代入法总结：(1)(2)分析：当分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当时函数的极限只与x无限趋近于4的函数值有关，
10、与x=4时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的极限.例6、求解：例7、求例8、求解：总结：通过例7、例8会发现：①函数f（x）在处无定义；②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，若用代入法，分子分母都为０.例8、求例7、求解决办法：可对分子分母因式分解，约去为0的公因式来求极限．------因式分解法解决办法：可先有理化分子，再约去为0的公因式来求极限．------根式有理化法练习
