基本不等式的性质以及初步应用.ppt

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1、基本不等式的应用一、复习引入：1.重要不等式：2.定理：3.公式的等价变形：例1.已知x、y都是正数，求证：(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x,y都是正数，所以(1)积xy为定值P时，有上式当x=y时，取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值(2)和x+y为定值S时，有上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值二、讲解范例：(1)两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：ⅰ)

2、函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ)等号成立条件必须存在.一正，二定，三相等结论:利用均值定理求最值例2.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y22xy，∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y22即x2+y2的最小值为2当且仅当x=y=1时取得最小值1．求函数y=(13x)x(00)的最小值，并求相应的x的值解：∵x0，∴x+1>0，由x+1=得x=0(x0)有最小值，

3、最小值是y=1∴当x=0时y=例4.求函数的最大值当且仅当时取得最大值(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.解：∵x，y都是正数∴x＋y≥2>0∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0x2＋y2≥2>0x3＋y3≥2>0∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥＝８x3y3即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.2·2·2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b

4、＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc.=8abc∴a＋b≥2>02·2·2(当且仅当a=b=c时，上式取等号）知识回顾例.最值定理：(1)和定--积最大.(2)积定--和最小.一正；二定；三相等.应用例5.有一根长4a的铁丝,如果围成一个矩形;求:围成图形面积最大值：解:(1)设矩形的长为x,那么宽为2a-x(2)面积S=x(2a-x)(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2你还有什么不同的方法吗？方法(二):(1)设矩形

5、的长为x.宽为y那么：x+y=2a(2)矩形面积S=xy(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.基本步骤：(1)设某线段长为x(求出其它线段长)(2)建立目标函数w=f(x)(用基本不等式求出最值)(3)当x=?时，w最大(小)=？(1)设某两线段长为x,y(求出f(x,y)=0)(2)建立函数w=g(x,y)(用基本不等式求出最值)(3)当x=?,y=?时.w最大=？感悟设未知数的技巧1.ABCDEFGH长方体，体积是4800m3,高为3m.2.ABCDEFG两个矩形(如图所示)AB=5,AD=33.ABCDMN矩形ABCD中(如图

6、所示)AB=10,AD=6,M为CD的中点，MN∥AD.常用方法：(1)设MN=x(2)设AB=x,CD=y(3)设∠ABC=x变式：如果：围成一个直角三角形求：面积的最大值解:(1)设两条直角边长为x,y那么：(2)所以面积(3)当x=y=_______时，面积最大=例6.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴的正方向分别交于A,B,O为原点.求：△OAB面积的最小值.xyOAB如何设未知数？设1个？还是设2个？为什么？变式:(1)求的最小值;(2)求的最小值.例7.ABPOxy已知点A(0,4),B(0,6),P在x轴正方向上求

7、：使∠APB最大的点P的坐标.