习题课：一元函数微分学.ppt

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1、第二章一元函数微分学基础训练综合提高专题四讨论方程的实根专题三一元函数微分学的应用专题二导数的计算专题一导数与微分的概念基础训练例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10例1若满足，且，求对两边关于求导，得本题只知道在个别点可导，并不知道可导．解再将代入，得分析例2求经过原点且与曲线相切的直线方程．令所求直线是过原点且与曲线上点解得分析因此所求直线方程为是曲线上点处的切线斜率，处的切线平行的直线，并不与该曲线相切．事实上，令，即方程，无实根，因此直线与曲线无交点，当然不相切．实际上，它是由复合而成即误认为由复合而成例3已知函数，求．解一（遗漏复合的层次）（遗漏复合的层次）解

2、二解三（层次结构的错乱）√该函数是幂指函数求全导数，得两边取对数得例4求函数的导数．解一或或解二解三√解一√√解二再两边求导得因此方程两边关于求导，得所以例5求由方程所确定的隐函数的导数．解一所以解二方程两边求微分，得不能丢！根据拉格朗日中值定理可知正确答案为B．（1）请思考该函数在上述哪个区间上满足罗尔定理．函数例6函数在下列区间上不满足拉格朗日在分析处连续但不可导，条件的是（）.A.B.C.D.评注（2）我们应重点理解几个中值定理的意义及其应用，举反例去理解是一种好方法．例7设函数在上连续，在内可导，以下构造的函数在上不满足罗尔定理条件的是（）.分析A.B.C.D.√例

3、8求下列极限：(1)解一解二(2)解例9求下列极限：解一原式解二原式由于不存在，故原极限不存在．例9求下列极限：（2）解解二（3）解一或例9求下列极限：解二解一设则得而当时，所以根据极限的保号性，可知从而如此无限循环下去，问题反而不得解决．（1）函数的单调区间及极值；例10设函数.描绘函数的图形.解得驻点及不可导点得表：从而可得（2）图形的凸凹区间及拐点；（3）函数图形的渐近线；等等.专题一导数与微分的概念例11例12例13例14例15例16例17例18方法导引例11思路设函数在点处的导数存在，是常数，求极限特别，当至少有一个为零时，上述结果显然成立．例12思路对设在上是连

4、续的奇函数，但存在，证明在处可导．有令有由极限的性质知，极限存在，于是极限存在．例13思路设函数与在处可导，且证明：必存在使当时有由导数性质知故由导数定义有再用极限的保号性．例14思路设周期函数在上可导，周期为4，且求曲线在点处的切线方程．例15思路分别讨论下列函数在点处的可导性：（1）设在点处连续，讨论（1）于是由已知得例15思路分别讨论下列函数在点处的可导性：（2）设函数在点处可导，讨论（2）可知则由极限的保号性得：当时，在点处的某邻域内有故有则由导数定义知，当时，在点处可导．同理讨论的情形．当时，例16思路讨论函数在处的连续性与可导性，其中常数时不存在时存在例17思路

5、试确定常数的值，使函数在处可导，并求出此时的得由由得注意例18思路设函数在处连续，试求函数在处的微分．专题二导数的计算例19例20例21例26例22例23例24例25例27方法导引例19思路设函数求的反函数在处的导数及例20思路设求令则故于是因故有于是例21思路设函数试求例22思路（理工类）设曲线由方程组确定，试求及该曲线在处的曲率可得有例23思路（理工类）令化简方程得于是再代入原方程，去整理例24思路求下列函数的阶导数：（1）（2）（3）（1）（2）（3）例25思路求的阶导数．当时，当时，例26思路一设求有尼茨公式，对上式两边关于利用乘积的高阶导数的莱布求阶导数得得再递推

6、得结论思路二例27思路设函数求用数学归纳法．当时，假设阶导数为则专题三一元函数微分学的应用例30例31例32例37例33例34例35例36例38例28例29方法导引例28思路一证明当时，令则思路二任取一点对函数在上应用拉格朗日中值定理，得例29思路一设证明对任何有令则从而思路二不妨设要证即证两边应用拉格朗日中值定理即证例30思路证明令显然为偶函数，故只需证当时，下面用“端点值法”：（1）证明该辅助函数在给定的区间内是单调递增的．（2）求出辅助函数在给定区间的左端点处的函数值．综合上述两结果即可证得所给不等式．例31思路求证当时，令显然函数在闭区间上连续，从而存在最值，下面求

7、出最大值和最小值分别为和证得结论．例32思路设函数在内可导，且极限与都存在，证明在内任取一点在上用拉格朗日中值定理得，使令有进行讨论，证得结论．例33思路（理工类）设函数在内有三阶连续导数，且试证明：由函数在点处的二阶泰勒公式有两式相减并整理得令进行讨论．例34思路设函数在有限区间内可导且无界，证明它的导函数在内也必无界．（反证法）假设存在正常数使设是内任一固定点，是内任意一点，在或上应用拉格朗日中值定理知得得例35思路设函数在上可导，试证明可取到介于与之间的任何数．不妨设记与之间的任一数为构造函数知在上必取到最小