一元函数微分学总结.ppt

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1、二、典型例题分析与解答第二、三章机动目录上页下页返回结束一元函数微分学总结一、知识点与考点机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)导数与微分①若令②③1.导数定义:则2.左右导数:左导数:右导数:机动目录上页下页返回结束导函数简称导数,且有函数y=f(x)在点4.导数的几何意义:处的导数表示曲线y=f(x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为是x→0时比x高阶的无穷小量,并称Ax为f(x)在其中A是与x无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+,则称y=f(x)在点x处可微,机动目录上页下页返回结束记为dy,即dy=A

2、x.5.微分的定义:由于x=dx,所以6.微分的几何意义:点x处的微分,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.7.基本定理定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动目录上页下页返回结束可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)设及(4)均为可导函数,则复合函数可导,且或(微分形式不变性)8.运算法则(1)(3)(2)9.基本初等函数的导数与微分公式(3)(1)(2

3、)(4)(8)机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)(9)机动目录上页下页返回结束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)10.高阶导数例1.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又机动目录上页下页返回结束11.方程确定的隐函数的导数例2.设函数y=y(x)由方程确定,求解法1:方程两边对x求导数得:解得方程两边微分得:解法2:解得:12.参数方程确定的函数的导数例3.设求机动目录上页下页返回结束解:13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.解法1:取对数机动目录上页下页返回结束等式两边对x求导数:则有:例4.设解法2

4、:作指数对数恒等变形:机动目录上页下页返回结束例5.设则有解取对数等式两边对x求导数:(二)中值定理机动目录上页下页返回结束1.罗尔定理(1)在闭区间[a,b]上连续;(3)且f(a)=f(b);成立.(2)在开区间(a,b)内可导;若函数f(x)满足条件:则在开区间(a,b)内至少存在一点使2.拉格朗日中值定理若函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式3.柯西中值定理机动目录上页下页返回结束成立.若函数f(x),F(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)

5、内可导且则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式(三)导数的应用定理1设函数f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性若对都有则称f(x)在(a,b)内单调增(减).2.函数的极值设函数f(x)在内有定义,x为该邻域内异于机动目录上页下页返回结束的任意一点,若恒有(或则称为f(x)在该邻域的极大(小)值.极大值与极小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2.(函数取得极值的必要条件)的根称为函数f(x)的驻点.则有设函数f(x)在点处可导,(可导函数的极值点必为驻点)且在该点处取得极值,定理3.机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第一充分条件)设函

6、数f(x)在内可导,(或f(x)在点处连续但不可导).(1)若当x由左至右经过时由“+”变“–”,则为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过为函数的极小值.则则不变号,不是时函数的极值.定理4机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第二充分条件)设函数f(x)在处(1)若则为函数f(x)的极大值.(2)若则为函数f(x)的极小值.3.函数的最值求连续函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1).求f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,

7、最小者为最大值.机动目录上页下页返回结束恒有(弧在弦的下方)(或则称曲线f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内任意两点(弧在弦的上方))称为曲线的拐点.定理1.(曲线凹凸性的判定定理)若在(a,b)上机动目录上页下页返回结束则曲线y=f(x)在当x自左至右经过定理2.(曲线拐点的判定定理)若在处时变号,则是曲线y=f(x)的拐点.(a,b)上为凹(凸)弧.二﹑典型例题分析与解答应填−1.已知则机动目录上页