第05章-误差椭圆..演示教学.ppt

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1、第05章-误差椭圆..教学目的通过本章的学习，能熟练地求出任意方向(或)上的位差；根据待定点坐标平差值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误差椭圆的三个参数并画出略图，了解误差椭圆在平面控制网优化设计中的作用。1点位真误差在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观测值平差计算所获得的是待定点坐标的平差值，而不是待定点坐标的真值｡如图5-1中，A为已知点，假定其坐标是不带误差的数值｡P为待定点的真位置，P’点为经过平差所得的点位，两者之距离为ΔP,称之为点位真误差，简称为真位差。由图可知，在待定点的这两对坐标

2、之间存在着误差(5-1)1§1点位真误差及点位误差真实位置平差位置且有(5-2)Δx，Δy为真位差在x轴和y轴上两个位差分量，也可理解为真位差在坐标轴上的投影｡设Δx,Δy的中误差为σx,σy,考虑Δx与Δy互相独立，对式(5-2)进行误差传播，可得点P真位差ΔP的方差为(5-3)式中，σ2P通常定义为点P的点位方差；σP为点位中误差｡如果将图5-1中的坐标系旋转某一角度，即以x′O′y为坐标系(图5-2)，则可以看出ΔP的大小将不受坐标轴的变动而发生变化，此时(5-4)这说明，尽管点位真误差ΔP在不同坐标系的两个坐标轴上的投影长度不等，但点位方差总是等于两个相

3、互垂直的方向上的坐标方差之和，与坐标系的选择无关｡如果再将点P的真位差ΔP投影于AP方向和垂直于AP的方向上，则得点P的纵向误差Δs和横向误差Δu，此时有:(5-5)ΔP2=Δs2+Δu2纵向误差Δs纵向误差Δu写成中误差的形式为(5-6)测量工作中也常常通过纵､横向误差来求定点位误差。上述的σx和σy分别为点在x轴和y轴方向上的中误差，或称为x轴和y轴方向上的位差｡同样，σs和σu是点在AP边的纵向和横向上的位差｡测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式(5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡(5-

4、3)(5-6)2点位误差及其计算由定权的基本公式可知(5-7)代入式(5-3)可得(5-8)从间接平差我们知道：当以待定点的坐标作为未知参数进行坐标平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知参数的协因数阵，其主对角线上的元素就是待定点坐标平差值x､y的权倒数，而非主对角上的元素则是它们的相关权倒数｡当平差问题中只有一个待定点时(5-9)当平差问题中有s个待定点时(5-10)主对角线上的元素就是待定点坐标平差值的权倒数3任意方向上的位差平差时，我们一般只求出待定点的坐标中误差σx､σy和点位中误差σP｡点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它却不能代表该点在某一

5、任意方向上的位差大小。而上面提到的σx､σy､σs､σu等，也只能代表待定点在x轴和y轴方向上以及AP边的纵向和横向上的位差｡但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小｡此外还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小，例如，在工程放样工作中，就经常需要关心任意方向上的位差问题｡3.1用方位角表示任意方向的位差如图5-3，P为待定点的真实位置，P′为待定点的平差位置。为了求待定P点在方位角为φ的方向上的位差，先找出待定点P在该方向上的真误差Δφ与纵､横坐标的真误差Δx､Δy的函数关系；然后求出该方向的位差｡由图可知点位真误差PP

6、′在φ方向上的投影值为PP′″，且:(5-11)真实位置平差位置点位真误差点位真误差在方位角为φ方向上的投影ΔxΔyΔxcosφΔysinφΔφ也可按以下方法求φ方向的位差根据协因数传播律得(5-12)而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到(5-13)由于Qyx=Qxy，故式中单位权方差为常量，σ2φ大小取决于Qφφ，而Qφφ是φ的函数｡若想求得与φ方向垂直方向(即φ+90°方向)上的方差，可将φ+90°代入式(5-13)得(5-14)将(5-13)和(5-14)两式相加，即得(5-15)上式表明：任何一点的点位方差总是等于两个相互垂直方向上的方差分量之和｡(5

7、-13)(5-13)由式(5-13)可知σ2φ的大小与方位角φ有关｡在所有方向的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分别设为QEE和QFF，而相应的方向分别设为φE和φF，其中在φE方向上的位差具有极大值，而在φF方向上的位差具有极小值，很显然，φE和φF两方向之差为90°｡为求QEE和QFF，可利用协因数阵(5-9)，因为QEE和QFF就是这个协因数阵特征值的两个根｡由线性代数中特征方程求特征根的方法，可求得(5-16)(5-17)式中位差的极大值和极小值为(5-20)(5-21)(5-22)(5-23)因为两个极值方向相互垂直，故极大值方向φE和

8、极小值方向φF的计算式为