电磁场有限元法(2)教学教材.ppt

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1、电磁场有限元法(2)有限元的基本思路将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元形式简单，数量有限；根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数，要求各基函数之间线性无关；基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上，定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0；求解的目标就是单元内这些特定的点或线上的电场值。一旦已知，则单元内任一点的电场值都可以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。2区域离散的概念为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形

2、单元剖分；对于三维问题，采用的是四面体单元：3有限元边值问题典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域边界上的边界条件来定义：LФ=f其中L为微分算符，f为激励或者强加函数，Ф是未知量。在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。4求解边值问题两种经典方里兹(Ritz)变分方法用变分表达式(也称为泛函)表示边值问题，泛函的极小值对应于给

3、定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解。伽辽金(Galerkin)方法残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权方法来得到方程的解。5里兹(Ritz)变分方法LФ=f的解等于下式泛函对的解泛函：vj是定义在全域上的展开函数cj是待定的展开系数6里兹(Ritz)变分方法将试探函数代入泛函：令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组7里兹(Ritz)变分方法其中：（应用算符L的自伴性质）求解该方程组可以得到LФ=f的近似解8伽辽金(Galerkin)方法假设是LФ=f的近似解，则得到非零的

4、残数为：——使用残数加权法求解微分方程残数加权方法要求wi是所选择的加权函数9伽辽金(Galerkin)方法在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同，这样可得到最精确的解。假设近似解为：则取加权函数选为：因此：得到：在算符L为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。10二维标量场有限元分析过程二维边值问题Dirichlet边界条件：混合边界条件：Neumann边界条件：11空间离散1235641234这是二维区域离散的示意图。黑色数字表示节点的全局编码，红色数字表示三角形单元的全局编号。组成每个三角

5、形单元的节点在三角形内有一组局部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有一一对应关系。12选择插值基函数使用线性三角形单元，在第e个单元内，可以近似为：节点坐标带入：解得：其中，为插值基函数13插值基函数其中：14当观察点(x,y)位于第i个结点的对边上时：二维插值基函数的性质性质1：性质2：一个单元边的值与其相对结点处的值无关，而由该边两端点处的值确定。从而保证了单元两侧解的连续性结论：15用伽辽金法建立公式①②③其中：16组合成方程组组合：其中：用矩阵表示为：17K矩阵的形成1235641234图中箭头所指为相应三角形单元

6、的起始结点1，并且规定结点1、2、3按顺时针排列。18列向量[b]的形成123564123419列向量[g]的形成1235641234其中：20经过以上各步，得到包含所有结点未知量的线性方程组：求解方程组其中，[b]来自于强加源f，[g]来自于边界条件，矩阵[K]中的每个元素表达了每个结点与其相邻所有结点在基函数上的相关性。求解该线性方程组即得到所有结点上的标量值，再通过原来每个单元中的展开函数回代，便可以得到该单元中的任意一点上所需要的标量值。21三维有限元分析三维边值问题Dirichlet条件：混合条件：Neumann边界

7、条件：22空间离散这是三维区域离散的示意图。红色部分为一个线性四面体单元，全部求解空间被有限个这样的四面体单元所离散。组成每个四面体单元的结点在四面体内有一组局部编码。显然，该局部编码与结点的全局编码有一一对应关系。123456723选择插值基函数在第e个单元内，未知函数可以近似为：将结点坐标带入：解得：其中，为插值基函数24节点插值基函数其中：25当观察点(x,y,z)位于四面体单元的第i个结点的对面上时：三维插值基函数的性质性质1：性质2：一个单元面上的值与该面相对结点处的值无关，而只与组成该面的三个顶点处的值有关。因此保

8、证了四面体单元两侧解的连续性。结论：26用伽辽金法建立公式①②③27组合成方程组组合：其中：用矩阵表示为：28K矩阵的形成通过局部坐标与全局坐标的对应关系，将在每个四面体单元中形成的局部[Ke]矩阵中的所有元素，依次填入全局的[K]矩阵中，最终完成K矩阵的形成。K矩阵的行与列