《电磁场镜像法》PPT课件.ppt

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1、§2.4镜象法Methodofimages根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace'sequation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poisson'sequation求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法—称为镜象法。1、镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷

2、或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？光学成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。2、镜象法的理论基础镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Po

3、isson'sequationorLaplace'sequation和边界条件决定。这里要注意几点：a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson‘sequationorLaplace’sequation，即所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是

4、把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。e)镜象法所适应的范围是：①所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。3、镜象法的具体应用用镜象法解题

5、大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐标系选择仍然根据边界形状来定）b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用于一些特殊的边界情况。点电荷与平面导体(a)Q(b)Q(c)Q点电荷与球形导体Qo(d)(e)oQ点电荷的镜像各种简单边界的组合作为边界(c)Q(a)Q(b)Q线电荷与平面导体(a)λ(b)λ(c)λ线电荷与圆柱形导体λo(a)(b)oλ线电

6、荷的镜像导体上的感应电荷密度为：（1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。（2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应平面与圆柱形边界的组合作为边界电荷(a)λ(b)λ(c)λ电偶极子的镜像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量及界面性质无关。应用举例接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q在（0，0，a）点，电势满足泊松方程。边界上设电量为，位置为（0，0，）从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对称的

7、位置上放一个假想电荷Q’，然后把板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）QQ/zPrr′a由边界条件确定和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解讨论：（a）导体面上感应电荷分布（b）电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。（c）与位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法（又称电象法）（d）导体对电荷Q的作用力相当两点电荷间的作用力导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势导体板上的感应电荷确

8、实可以用板下方一个假想电荷Q’代替。可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。例2设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介质，以无限大平面为界。在介质1中有一点电荷Q