工程电磁场数值分析4(有限元法1)

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1、工程电磁场数值分析（4）（电磁场有限元法）华中科技大学电机与控制工程系陈德智Email:dzhchen@mail.hust.edu.cnTel:13277069433Office:Room108,电机楼2010.12第4章电磁场有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。第4章电磁场有限元法（FEM）有限元基本原理与实施步骤：1DFEM有限元基本原理与实施步骤：2DFEM有限元方程组的求解二

2、维有限元工程应用三维有限元原理与工程应用矢量有限元加权余量法回顾：对算子方程用作为该方程的近似解（试探解）：代入方程得余量：1.有限元法基本原理与实施步骤：一维问题在有限元法中，基函数一般用表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化：设L为线性算子，代入，得或记得代数方程组：加权余量法回顾（续）利用有限元法求解一维边值问题：（1）单元剖分如图5个单元，6个节点（2）选取基函数（3）方程离散（计算系数阵[K]和右端项[b]）基函数Ni只是一阶可导的，不能严格满足微分方程，称为“弱解”。（3）方程离散第一项在xj处为0，在xi处的值被来自(i-1)单元的贡献抵

3、消，故只剩下第二项。由于基函数Ni局域支撑，显见只有不为0。使用分步积分：（3）方程离散故类似，当j=i时右端项：总体方程强加边界条件：u1=0,u6=0（4）求解方程思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？（2）有限元的系数阵总是对称的吗？x0000.20.03610.03600.40.06280.06250.60.07100.07080.80.05250.05231.000与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。所以，即是有限

4、元节点上的解是精确的，有限元的整个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似解中提取更精确的分析结果。线性单元中，如果所求的自由度是电位j，单元中的电场E是场量；节点上的E取邻近单元的平均。一些补充说明：关于有限元的解计算系数阵是有限元分析的主要工作量。所涉及到的积分，如果不是解析可积的，通常要用到数值积分。其中最常用的数值积分方法是Gauss数值积分。一些补充说明：高斯数值积分先将积分区间变换到[-1,1]上；按照固定的积分点计算若干函数值P(xi),以固定权值wi累加即可。具(2n+1)阶精度。n=4x(1)=0.861136311594053d0x(2)=0.3399810

5、43584856d0w(1)=0.347854845137454d0w(2)=0.652145154862546d0n=5x(1)=0.906179845938664d0x(2)=0.538469310105683d0x(3)=0.0d0w(1)=0.236926885056189d0w(2)=0.478628670499366d0w(3)=0.568888888888889d0n=6x(1)=0.932469514203152d0x(2)=0.661209386466265d0x(3)=0.238619186083197d0w(1)=0.171324492379170d0w(2)

6、=0.360761573048139d0w(3)=0.467913934572691d0n=16x(1)=0.9894003948d0x(2)=0.9445750231d0x(3)=0.8656312024d0x(4)=0.7554044084d0x(5)=0.6178762444d0x(6)=0.4580167777d0x(7)=0.2816035508d0x(8)=0.0950125098d0w(1)=0.0271524594d0w(2)=0.0622535239d0w(3)=0.0951585117d0w(4)=0.1246289713d0w(5)=0.1495959888d

7、0w(6)=0.1691565194d0w(7)=0.1826034150d0w(8)=0.1894506105d0一些Gauss积分点和权值：（关于x=0对称，只给出一半）为提高有限元分析精度，有两种方法：其一：增加节点，细化网格——称为h方法。其二：增加有限元的阶数——称为p方法。一些补充说明：线性单元与高阶单元一些补充说明：二阶单元一些补充说明：三阶单元h方法和p方法的求解精度ByJianmingJin.TheFiniteElementMethodinElect