工程电磁场数值分析有限元法.ppt

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1、工程电磁场数值分析（有限元法）华中科技大学电机与控制工程系陈德智2007.12第4章电磁场有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。第4章电磁场有限元法（FEM）有限元的基本原理与实施步骤有限元方程组的求解前处理与后处理技术渐近边界条件矢量有限元法求解运动导体涡流问题的迎风有限元法在有限元法中，基函数一般用表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化：加权余量法回顾：对算

2、子方程用作为该方程的近似解（试探解）：代入方程得余量：1.有限元法的基本原理与实施步骤设L为线性算子，代入，得或记得代数方程组：加权余量法回顾（续）场域离散以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是单一、均匀的。节点：网格的交点，待求变量的设置点。需要记录信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质目标：建立节点变量之间满足的代数方程组，即确定系数{Kij}和{bi}。依据的原理是加权余量法使用的基函数为分域基。基函数有限元采用分片逼近的思想，跟使用折

3、线逼近一条任意曲线的做法相同。使用分域基Ni，基函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni的作用区域是与该节点i相关联的所有单元。在积分中，对于确定的i，j的有效取值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为：以下把单元e的贡献记为这样，就有每个或的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分析）。三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1,u2,u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表

4、示为代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出a、b、c。得到单元节点的编号按逆时针方向排列！其中，记住我们的任务—寻找基函数对比可得基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上，Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。系数阵元素：当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元内是(x,y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。但是，在相邻单元的边界上，Ni是连续但是不光滑的，因此对积分的贡献主要来自边界。为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：故，格林公式：因：写成一般

5、形式，若一个三角形三个顶点编号为i,j,m（逆时针顺序），则从而再看边界部分：（1）在节点i的对边Gjm上，Ni＝0，故积分贡献为0；结论：单元边界对积分的贡献为0。所以单元e为系数阵元素的贡献为：（2）在节点i的邻边Gij上，由于计算Kij时需要把具有公共邻边的单元的积分累加，此二单元的Ni是连续的；对于单一均匀媒质，要求相邻单元满足，故积分的贡献相互抵消。由于单元很小，做单元分析时通常可以取f(e)为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此右端项元素：公式：通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面衔接条件和场域边界条件，稍

6、后再讨论。上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵[K(e)]，然后合成整体系数阵[K]。单元系数阵[K(e)]定义为设i,j,k是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为媒质交界面衔接条件第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。对于第二个条件，前面计算单元边界上积分时，默认两边j的法向导数相等，使内边界上的积分结果抵消。因此只要把泊松方程写成或满足的条件将是,从而也无需另行处理。由于有限元方法能够自

7、动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。媒质交界面衔接条件第一类边界条件（强加边界条件）第一类边界节点是指边界上函数值已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。要保持对称性；有更简便的做法第二类边界条件（自然边界条件）第二类边界节点是指边界上函数法向导数已知。对于内部单元，相邻单元边界的积分相互抵消。但