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1、§2.2 由面积产生的函数关系问题图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题.计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平方.前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单.一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在什么情况下(x为何值时),S取得最大值或最小值.关于面积的最值问题,有许多经典的结论.1.周长一定的矩形,当正方形时,面积最大.2.面积一定的矩形,当正
2、方形时,周长最小.3.周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆.4.如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y,AD=x,当点D是AB的中点时,面积y最大.5.如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB的中点E的正上方时,△PAB的面积最大.6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的面积最大.图1图2图3例8 2016年淮安市中考第27题如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).(1)求该二次函数
3、的表达式及点C的坐标;(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.请打开几何画板文件名“16淮安27”,拖动点F在第一象限内的抛物线上运动,观察△CDF的面积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的面积最大;当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上.1.把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积.2.连结OF“割补”△CDF比较简便
4、.3.如果设点F的坐标为(m,n),根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值.例9 2016年吉林省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过O、A、B三点.(1)当m=2时,a= ,当m=3时,a= ; (2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3)如图2,在(1)的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形
5、时,a与n的关系式为 ; (4)利用(2)、(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.图1图2请打开几何画板文件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的二次项系数a在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a的反比例函数.1.点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式.2.点Q的坐标可以用m、n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、n的关系.例10 2017年金华市中考第24题如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,33)
6、,B(9,53),C(14,0).动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB—BC运动,在OA、AB、BC上运动的速度分别为3、3、52(单位长度/秒).当P、Q中的一点到达点C时,两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式;(2)如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值;(3)在P、Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t的值.图1图2请打开几何画板文件名“17金华24”,拖动点P运动,可以体验到,PQ的垂直平分线4次经过
7、四边形OABC的顶点.1.先求线段OA、AB、BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来.2.直线OA、BC与x轴的夹角为60°,直线AB与x轴的夹角为30°.3.点Q在AB上时,AQ=速度×时间=3(t-2).点Q在BC上时,BQ=速度×时间=52(t-6),CQ=52(10-t).例11 2017年黄冈市中考第24题如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒.(
