2014中考数学压轴题函数面积问题（三）

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1、2014中考数学压轴题函数面积问题(三)例5如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不

2、变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．思路点拨1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的

3、线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．满分解答（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以

4、EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．（4）当或时,OP与PQ相等．图3图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3

5、m，MP＝4m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．图5图6例6在直角坐标系中，抛物线经过点（0，10）和点（4，2）．（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x

6、轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“08长春25”，拖动点C在抛物线上运动，可以体验到，矩形ABCD随之平移，双击按钮“上∶下＝4∶1”，可以体验到，符合条件的点C有两个；双击按钮“上∶下＝1∶4”，可以体验到，符合条件的点C有一个，就是抛物线的顶点．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式．2．数形结合，把x＝1代入抛物线的解析式，求得的y的值就是边BC的长．3．分类讨论两部分的面积比为1:4，分为上下之比为1:4和4:1两种情况．4．矩形在移动过程中形状不

7、变，把面积比转化为高度比，由于BC＝5，因此点C的纵坐标为1或4，进而解方程求得点C的横坐标．满分解答（1）因为抛物线经过点（0，10）和点（4，2），所以解得，．因此抛物线的解析式为y＝x2－6x＋10．（2）①因为CD＝1，点D在y轴上，所以点C的横坐标为1．在y＝x2－6x＋10中，当x＝1时，y＝5．所以边BC的长为5．②因为矩形边长一定，所以BC＝5．如图2，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:5时，点C的纵坐标为1．解方程x2－6x＋10＝1，得．此时点C的坐标为(3，1)．如图3，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个

8、矩形面积的比为5:1时，点C的纵坐标为4．解方程x2－6x＋10＝