第十一讲分析学的严格化与开拓.doc

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1、第十一讲分析学的严格化与开拓微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格基础的重建方面做出了种种尝试。在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法。后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论。拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表

2、述提供了合理内核。§11.1分析的算术化经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严格化基础上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效。其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是这方面的一些例子：1．变量。“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。2．函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的

3、，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有解析表达式的要求。3．极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。4．无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小的固定数。5．连续函数。柯西第一次解决了函数连续性的定义问题。按他的定义，函数在给定限之间关于保持连续，

4、如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数本身的一个无限小增量。以往欧拉所说的“连续”是指光滑（即可微）函数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中，数学家们则把“连续性”理解为函数具有一致的解析表达式。6．导数与微分。柯西把导数明确定义为差商当无限地趋向于零的极限，函数的微分法则定义为。以往常常是先取某种形式的微分作为基本概念，而把的导数作为表达式的“微分系数”而引入。7．积分。柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义。设函数在给定区间上连续，并用点把区间划分为

5、个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和：，柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为在区间上的积分。这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分。在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理被表述为：在区间上给定连续函数，对于，由定义的新函数就是的原函数或反导数，即在上有柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件。令是所研究的无穷级数前项的和，为自然数，若当趋

6、向于无限大时，和无限趋近于某一极限S，柯西就说级数是收敛的。柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。他的许多定义和论述已经相当接近于微积分的现代形式。尤其是关于微积分基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算植根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的明确定义。对实数系缺乏充分的理解，不仅会造逻辑上

7、的间断，有时甚至会导致结论上的错误。当时人们对连续函数处处可微的看法就是一个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续但却处处不可微的函数时，整个数学界大为震惊。魏尔斯特拉斯的函数使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性。由此引来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动。在数学史上，魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是e-d语言的创立，还有一致收敛性的引进。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上不能缺少魏尔斯特拉斯的工作。魏尔

8、斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理数）。这样，分析的