数学分析严格化开拓者

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1、数学分析严格化的开拓者　　分析严格化的需要　　18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求澄清基本概念，阐明基本原理．　　已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯(Gauss)批评J．L．达朗贝尔(d'Alembert)关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”

2、．N．H．阿贝尔(Abel)说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．)　　正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规

3、定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致．”　　极限与无穷小　　柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”［2］从字面上看

4、，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进．　　　个数”开始，写出一系列不等式来最终完成证明．在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题．　　其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态．　　最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论．　　函数及其连续性　　柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样

5、的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数．”他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性．　　柯西给出了连续的严格定义：“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f(x+a)-f(x)的数值随着a无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．”在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想

6、．　　在柯西之前，B．波尔查诺(Bolzano)于1817年给出连续的定义，并利用上确界证明了介值定理．但他的工作在很长时间内未引起人们的注意．有人认为柯西读到了波尔查诺的著作，采用了他的思想，但故意不加声明．这种看法缺乏佐证材料．　　微分学　　柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y′或f′(x)表示．”这表明他已用崭新的方式考虑问题．他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理．例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理，首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε，δ)的证明，由此推出拉格朗日中值定理．他还得到了“柯西中值定理”　　柯西关于微分

7、的一种定义也富有独创性．他称f(x)的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程　　的左端所收敛的极限”．　　柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性．他证明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0时用f(n)(x0)的符号判断极大、极小的命题．他由自己的中值定理推导出洛必达法则．这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础．　　积分学　　18世纪绝大多数数学家摒弃