第十章第一讲分析的严格化

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1、数学史教程主讲人孙利－－李文林第十章分析的严格化---01一、分析基础的严密化19世纪分析严格化,波尔察诺(1781--1848)1817年发表《纯粹分析证明》,柯西(1789--1851)1821年《分析教程》,1823年《无限小计算教程》,魏尔斯特拉斯的ε—δ语言,戴德金的单调有界数列收敛和实数分割理论,康托尔的集合论可数集合与不可数集合,是实数集的基数.狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。柯西（Cauchy，Augus

2、tinLouis1789-1857）(一)单复变函数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。(二)分析基础柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。在柯西的著作中，没有通行的语

3、言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。。柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西－利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方

4、程的所求解。(三)常微分方程数理弹性理论的奠基人之一分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。魏尔斯特拉斯(Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815---1897)，德国数学家1.在数学分析方面他是把严格的论证

5、引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。他改进了波尔查诺柯西、阿贝尔的方法，早在1841年至1856年，作中学教师的魏尔斯特拉斯，就给出了今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义（ε-δ定义），以及完整的一套类似的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。成功地为微积分奠定理论基础的理论。为了说明直觉的不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一

6、次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。2.在解析函数方面他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西、黎曼一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定

7、区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。3、在椭圆函数方面椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“