现代过程控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等__第3课时.ppt

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1、第三章系统的稳定性⑴系统分析定量分析：求解系统的状态状态方程定性分析：系统的性质及与系统结构参数之间的关系。包括系统的稳定性系统的能控性和能观性实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的系统稳定性有两种内部稳定性：对应于系统的内部描述是系统的状态的稳定性外部稳定性：对应于系统的外部部描述是系统输出对输入的稳定性两种稳定性既有区别，又有内在的联系⑵系统的稳定性⑶本章内容稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫稳定性内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据李雅普诺夫稳定性理论和方法适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统常用的判据：李雅普诺夫函数

2、法稳定性判据李雅普诺夫方程稳定性判据3.1线性系统的外部稳定性线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系统输入输出描述的稳定性。是有界输入有界输出稳定性，简称为稳定性。定义3－1考虑线性零初态的系统，如果由一个有界输入所产生的输出也是有界的，即对所有的对所有的则称系统是稳定的。稳定必须假定系统是零初始条件的（），因为系统的输入输出描述是在此假定下才有意义。3.1.1单变量线性系统的稳定性判据⑴脉冲响应函数判据定理3－1线性系统的输入输出描述是则系统是稳定的充分必要条件是式中，是一个有限常数。证明充分性：由式（3－1），有所以，系统的输出是有界的（3－1）（3－2）反证

3、法假设在某个时刻，使取输入输入是有界的，但是输出是无界的，系统不是稳定的。定理3－2对线性定常系统取，则其稳定的充分必要条件是证毕必要性：如果不是绝对可积的，则系统不是稳定的。⑵传递函数判据定理3－3如果单变量线性定常系统的传递函数是正则(或严格正则)有理函数，则其稳定的充分必要条件为：的所有极点都具有负实部。证明：若是正则有理函数，假定的是重极点，则通过部分分式展开后，必定包含因子上列因子绝对可积的充分必要条件是具有负实部，即系统是稳定的。证毕它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下列因子3-1-2多变量线性系统的稳定性判据将单变量系统的稳定性条件推广到多变量系统

4、：⑴脉冲响应函数判据定理3－4线性时变多变量系统稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵的每一个元在范围内是绝对可积的。(证略)定理3－5若线性定常多变量系统是零初始条件的，并取，则系统稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵的每一个元在范围内是绝对可积的。(证略)⑵传递函数判据定理3－6对线性定常多变量系统，如果其传递函数阵是正则有理函数阵，稳定的充分必要条件是：每一个元的极点（也是的极点）都具有负实部。线性定常系统的状态空间描述是则系统的传递函数阵为如果的所有特征值具有负实部，则的所有极点必定具有负实部，则系统是稳定的。的极点必是的特征值。这只是充分条件，而不是必要条件。因为如

5、果与有公因子，即使公因子中包含有零或正实部，系统也是稳定的。稳定的特征值判据（充分条件）（3－3）例3-1设系统的状态空间描述为的特征值为-1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点-1，所以系统是稳定的。3.2系统的内部稳定性系统的内部稳定性是研究系统的零输入响应的稳定性。因此只要讨论齐次状态方程由初始状态引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。⑴系统的平衡状态对定常系统，齐次状态方程为如果系统所处的状态满足这个状态称为平衡状态。由平衡状态的定义，不会使系统产生运动，即（3－4）(3－5）（3－7）（3－8）平衡状态的计算平衡状态为下列

6、方程的解对线性定常系统，满足当为非奇异时，上述方程有唯一零解，即系统的零状态（原点）是系统的唯一平衡状态。当为奇异时，上述方程有无穷多解。对于任意一个已知的平衡点，总可以通过坐标变换将它转移到原点，所以通常总是将系统的平衡状态定在零状态。对渐近稳定系统，总是非奇异的，零状态(原点)是系统的唯一平衡状态。（3－9）例3－2倒立摆系统系统的齐次状态方程为显然，是奇异的，齐次状态方程有无穷多个解。从系统的状态转移矩阵可知，任一都是平衡状态，因为只要其他状态的初值为零，系统将始终稳定在(小车的位移)的初始位置上。例3－3如图所示的单摆，当取状态变量为，状态方程这是一个非线性系统，对其在

7、处进行线性化，可得线性化方程考虑到,变化很小,令,，线性化方程可写成是非奇异的，所以只有唯一一个零平衡状态。图3－1（3－10）,系统的内部稳定性就是研究当系统受到扰动而偏离平衡状态后，能否返回平衡状态，或者回到离原平衡状态的一定范围内，因此系统内部稳定性就是指系统平衡状态的稳定性。下面将系统平衡状态的稳定性简称为系统的稳定性。3.2.1系统内部稳定性的基本概念⑴李亚普诺夫意义上的稳定性（稳定性）定义：如果对于给定的任意实数，都对应地存在另一实数，使系统满足的任一初始状态的响应都满足则平衡状