现代控制理论基础 第3版 教学课件 作者 王孝武 第2章.ppt

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1、第2章线性控制系统的运动分析本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。本章内容为1线性定常系统齐次状态方程的解2状态转移矩阵3线性定常系统非齐次状态方程的解4线性时变系统的运动分析5线性系统的脉冲响应矩阵8用MATLAB求解系统方程6线性连续系统方程的离散化7线性离散系统的运动分析2.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法假设其解为一幂级数（3）将（3）式代入（

2、2）式这时系统的输入为零等式两边t的同次幂的系数相等，因此有而因为则解为（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为（5）将（5）式代入（1）式等式两边t同次幂的系数相等，因此有而记作则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为（6）则（7）如果则（8）将（8）式代入（1）式验证和矩阵指数函数又称为状态转移矩阵，记作由于系统没有输入向量，是由初始状态激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由决定，即是由矩阵A惟一决定的。2.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为或其几何意义是：系统从初始状态开始，随着时间的推移，由转移到，

3、再由转移到，……。的形态完全由决定。2.2.1状态转移矩阵的基本性质1）即2）即3）可逆性即4）传递性即5）当且仅当时，有如果时，则2.2.2状态转移矩阵的求法方法1根据定义，计算方法2应用拉普拉斯变换法，计算对上式求拉普拉斯变换，得如果为非奇异（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2线性定常系统的齐次状态方程为求其状态转移矩阵解于是L方法3应用凯莱-哈密顿定理，计算凯莱-哈密顿定理：矩阵A满足自身的特征方程。即证明：因为根据凯莱-哈密顿定理，有为特征方程的根，即有而所以，和位置可以互换。（11）例用凯莱-哈密顿定理计算解由凯-哈定理：所以根据凯莱

4、-哈密顿定理，并且移项后，有：（11）式表明：是、、、、的线性组合（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：、、、都是、、、、的线性组合（13）其中，，为待定系数。的计算方法为：1）A的特征值互异应用凯-哈定理，和都满足的特征方程。因此，也可以满足（13）式。（注：第一次应用凯-哈定理，用）（注：第二次应用凯-哈定理，用）（其中，）写成矩阵形式（14）于是（15）例2-3线性定常系统的齐次状态方程为用凯-哈定理计算其状态转移矩阵解即2）A的特征值相同，均为（16）证明：上式两边都对求导，得上式两边再对求导，得重复以上步骤，最后有：由上面

5、n个方程，解出，即可得到（16）式。对于3阶系统，特征值有重根的情况有以下2种：一，，(下式对求导)写成矩阵形式：即：二，下式对求导，得：下式再对求导，得：写成矩阵形式：3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。例2-4线性定常系统齐次状态方程为解应用凯-哈定理计算A的特征值为于是状态转移矩阵方法4通过线性变换，计算因为而因为对角阵的特殊性质，有：1）矩阵A可以经过线性变换成为对角阵，计算因此，状态转移矩阵为例2-5线性定常系统的齐次状态方程为用线性变换方

6、法，计算其状态转移矩阵解（17）2）矩阵A可以经过线性变换成为约当形阵，计算状态转移矩阵为（18）3）矩阵A可以经过线性变换成为模态形阵，计算如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵M其中系统状态转移矩阵为（19）2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程为（20）改写为（21）（21）式两边同乘得或写成（22）对（22）式在0到t时间段上积分，有（23）（24）（24）式两边同乘，并且移项（25）（26）（27）更一般情况，当（28）由式（25）或式（27）可知，系统的运动包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状

7、态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量，使的形态满足期望的要求。当输入为单位阶跃时，有例2-8线性定常系统的状态方程为解在例2-2中已经求得由（26）式系统的输出方程为则或（29）可见，系统的输出由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。2.4线性时变系统的运动分析（30）线性时变系统方程为2.4.1齐次状态方程的解（31）初始状态为其中，是状态转移矩阵，并且满足以下方程

8、（33）满足初始条件（34）根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可