自动控制理论 教学课件 作者 王孝武 第4章.ppt

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1、第4章根轨迹法根轨迹法是基于系统闭环极点与开环极点、零点之间存在的关系而建立的一种求闭环极点的图解方法。本章将介绍根轨迹的基本概念，导出根轨迹方程。据此，得到闭环系统根轨迹的绘图规则。有了根轨迹，就可以分析系统的性能。这种方法使用简便，是分析和设计线性定常系统的重要方法，在工程中得到广泛应用4.1引言例4-1根轨迹——当系统的某个参数（例如开环增益K）由零变到无穷时，闭环特征根在S平面上移动的根轨迹。设控制系统如图示开环极点绘制时闭环极点变化的轨迹，并分析系统性能。解：性能分析：4.2绘制根轨迹的依据一、闭环

2、零、极点与开环零、极点的关系开环、闭环零、极点的关系：(1)闭环根轨迹增益等于前向通路根轨迹增益；单位反馈系统：闭环根轨迹增益等于开环根轨迹增益。(2）闭环零点由前向通路零点和和反馈通路极点组成；单位反馈系统：闭环零点等于开环零点。(3）闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益均有关。二、根轨迹方程闭环特征方程根轨迹方程根轨迹上的点必然满足闭环系统特征方程式若则（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件；（2）由模值条件决定根轨迹上各点相应的值。根轨迹方程可用如下相角条件和模值条件表示例单位反馈系统开环传递函数为用

3、根轨迹方程作根轨迹。-0.50p1p2用试探法找到满足相角方程的点：（1）在0～0.5的负实轴区段上任取一点s1s1s2（2）取一点s2=-0.25+j0.25，满足相角方程，该区段在根轨迹上。S2是根轨迹上的点。逐点试探可绘制出全部根轨迹。根据模值方程，在S1、S２处4.3根轨迹绘制规则一、根轨迹的绘制规则规则1根轨迹的分支数和根轨迹的起点、终点根轨迹的分支数等于闭环系统特征方程的阶数。根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点。闭环系统特征方程式为特征方程式的阶数或特征根的个数等于Max(m.n)即：根轨迹的分

4、支数等于闭环系统特征方程的阶数。根轨迹起点是指时的闭环极点由上式知：开环极点为根轨迹起点根轨迹终点是指时的闭环极点由上式知：开环零点为根轨迹终点若系统开环极点的个数等于开环零点的个数，即当时，系统的条根轨迹从个开环极点出发，终止于个开环零点。个开环极点出发的根轨迹，有条终止于条根轨迹终止于无穷远（此时认为个开环零点，称其为无限零点）。时，从开环零点，另外系统在无穷远处有这是因为根轨迹方程可写为在时，是上式当时的根。类似地，若，则有条根轨迹起始于无穷远，条根轨迹起始于开环极点，它们分别终止于个开环零点（此时认为

5、系统在无穷远处有个开环极点，称其为无限极点）。若把位于无穷远处开环极点或开环零点包括在内，系统开环零点和开环极点的个数总是相等的。因此根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。规则2根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的并且对称于实轴。规则3根轨迹的渐近线渐近线与正实轴夹角渐近线与实轴的交点为证明当时，根据二项式定理取上式前两项得考虑到令令所以渐近线与正实轴交点坐标为斜率为渐近线与正实轴夹角为例4－2图示系统，应用已有的绘制根轨迹规则确定根轨迹上有关特征点和渐近线。根轨迹的起点是开环极点解终点为无限零点。系统有3条

6、根轨迹分支渐近线与正实轴夹角渐近线与实轴的交点证明：由相角方程（1）开环复数零、极点都成对出现，相角等值反号，在相角条件中相互抵消；（2）位于闭环极点s1左边的开环实数零、极点到s1的向量相角为0；（3）位于闭环极点s1右边的开环实数零、极点到s1的向量相角为π。只有右边零、极点是奇数时，总相角才是。p1p2p3p4z1z2z3s1规则4实轴上的根轨迹实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上的一段。规则5根轨迹的分离点和分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点

7、，称为根轨迹的分离点；分离点的坐标d是下列方程的解证明：由根轨迹方程得到根轨迹的分离点说明闭环特征方程有重根出现。设重根为满足从上式解出s，即为分离点d。如果开环传递函数中没有有限零点，分离点的特点：（1）分离点位于实轴上或以共轭形式出现；（2）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可为无限极点）之间，至少存在一个分离点；根轨迹在实轴上两相邻开环零点（其中一个可为无限零点）之间，至少存在一个分离点。（3）分离角可由决定。求分离点坐标的第二种方法：设系统开环传递函数为则分离点的坐标是方程的解证明如下根轨迹的分离

8、点就是闭环特征方程出现重根之处，因此在分离点处有下式成立推得考虑到上式习惯上表示成例４－３控制系统开环传递函数为利用已有的根轨迹绘制规则，画出系统根轨迹并求其分离点。解起点为开环极点根轨迹有4条分支，趋向无限零点。根轨迹的渐近线实轴上的根轨迹；实轴上0到－４之间的线段为根轨迹。根轨迹的分离点根据上述计算画出的根轨迹如图根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入开环复数零点处