自动控制理论 教学课件 作者 王孝武 第2章.ppt

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1、第2章控制系统的数学模型2.1引言系统的数学模型是指描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。静态数学模型动态数学模型动态数学模型有多种形式时域中的数学模型微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型传递函数、动态结构图、信号流图频域中的数学模型频率特性建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法要求模型尽可能符合实际物理系统的特性，并且准确可靠；在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽可能简单2.2控制系统的微分方程一、建立系统或元件的微分方程的步骤1、确定系统或元件的输入量和输出量2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程4、对微分方程进行整理，

2、写成标准形式，即输出量放左边，输入量放右边，按降幂排列。3、消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程例2-1图示电路,列写微分方程例2-2整理后图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的运动方程。解：f--阻尼系数k--弹性系数根据牛顿第二定律式中例2-3列写两级RC电路的微分方程解：根据克希霍夫定律，可写出下列方程组消去中间变量该电路是由两个一级RC电路串联而成，后一级RC电路中的电流影响着前一级RC电路的输出电压，这就是负载效应。若要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器这时所列写的微分方程为例2-4有源网络如图所示

3、。列写输出与输入之间的微分方程解：由运算放大器的基本特性和克希霍夫定律，列写出下列方程消去中间变量例2-5列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。ua取为输入量，θm为输出量。解：消去中间变量这是三阶线性常系数微分方程，描述了电机转角与电枢电压和负载力矩之间的关系忽略电枢电感得其中若以为输出量例2-6直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入，电动机转速为系统的输出，列写微分方程。解：消去中间变量例2-7位置随动系统如图所示，以手柄给定转角系统的输入，工作机械的转角为系统的输出，列写系统的微分方程。桥式电位计放大器电动机电机输入输出方程为减速器工作机械消去中间变量若忽略

4、的数值，考虑，并令可简化为位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程二、非线性微分方程的线性化能够用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。线性系统的重要性质是满足叠加原理，即具有可加性和齐次性。对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外部输入同时加在系统上，则可以对各个输入分别处理。可加性和齐次性使线性系统的分析大为简化。严格地说，构成控制系统的各类元件的输入变量和输出变量之间都存在不同程度的非线性特性，将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法，称为非线性微分方程的线性化“小偏差法”是常用的一种线性化方法考虑到实际控制系统都有一个设定工作状态，即系统中各个变量都

5、在各自的设定值（工作点、平衡点）附近作小范围变化，“小偏差法”的基本思想是，对于描述非线性元件输入与输出之间特性的非线性函数，在元件工作点邻域内展开成泰勒级数，在能够忽略二次以上各项的条件下，用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数，使得系统中非线性元件线性化，从而使描述系统的非线性微分方程线性化。使用小偏差法的步骤包括：1．将非线性元件线性化2．将非线性微分方程增量化3．将非线性微分方程线性化例2-8单容水箱液位系统如图所示。为水箱的流入量，为流出量，水箱液面高度为，水箱的截面积为列写与之间的线性化微分方程。解：设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有通过负载阀（节流阀

6、）的液体是紊流，根据流体力学是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。这是一个一阶非线性微分方程。液位系统在平衡点附近小范围内工作时，各变量可以表示为称为水阻考虑平衡点处是系统的非线性微分方程的线性化结果，是平衡点附近的线性增量方程。简记为例2-9铁芯线圈及其非线性特性如图为输入，为输出列写微分方程并进行线性化。解：是一个非线性微分方程。忽略二次方以上的各项，得到使用小偏差法进行线性化时，须注意满足它的应用条件：（1）要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。（2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，

7、平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。三、用拉氏变换求解线性常系数微分方程线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下：1．对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程。2．将输入量和初始条件代入变换方程进行求解，得到输出量的拉氏变换函数表达式。3．将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。4．对部分分式进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为微分方程的全解。例2－10求得RLC无源网络的输入输出微分方程已知求输出电压对微分方程两边进行拉氏变换