2014全国高考数学解析几何大题汇编答案.doc

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1、2014全国高考数学解析几何大题汇编1．[2014·江西卷]如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．1．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.又直

2、线OA的方程为y＝x，则A，所以kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，则＝＝＝·.又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．2．[2014·四川卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．

3、(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当最小时，求点T的坐标．2．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将

4、直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得，

5、TF

6、＝，

7、PQ

8、＝＝＝＝.所以＝＝≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．3．[2014·全国卷]已知抛

9、物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

10、QF

11、＝

12、PQ

13、.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．3．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以

14、PQ

15、＝，

16、QF

17、＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4m

18、y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，

19、AB

20、＝

21、y1－y2

22、＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E，

23、MN

24、＝

25、y3－y4

26、＝.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于

27、AE

28、＝

29、BE

30、＝

31、MN

32、

33、，从而

34、AB

35、2＋

36、DE

37、2＝

38、MN

39、2，即4(m2＋1)2＋＋＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4．[2014·北京卷]已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．4．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线A

40、B与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程