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《黄云清版数值计算方法习题解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章引论（习题）2．证明：记，则.3．证明：令：可估计：（为阶码），故：于是：.4．解(1).(2).(3).6．解的相对误差：由于.,.（）对于的误差和相对误差.==.9．解递推关系：(1)取初值，计算可得：，，，…(2)取初值，,记：,序列，满足递推关系，且，,于是：,,,,可见随着的主项的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章多项式插值(习题)1.方法一.由Lagrange插值公式,，,.可得：方法二.令：由，，定A，B（称之为待定系数法）2.证明(1)由于故：，当时有：，也即为的插值多项式，由唯一性，有：，证明(2)：利用Newton插
2、值多项式差商表：f(x)一阶二阶…n阶差商100代入式有：.为次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有.4.解作以为节点的Lagrange插值多项式，有：，其中：，，令：有，又：故当时，成立公式：.5.解：因为，为凹函数.又从数值表可见：当时，单调下降.有反函数于及之间有一个根0.700100.401600.10810-0.17440-0.437500.10.20.30.40.5作差商表：一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.700100.10.401600.2－0.335000.108100.3－0.340710.-0.174400.4－0.3539
3、80.02304－0.01531－0.437500.5－0.380080.04784－0.029230.01225的Newton插值多项式：7．解.有：=1,.9.证明：(1).(3)！此题可利用数学归纳法：设成立，证明成立.又时是成立的.10.证明：记：，有：故：.13．解作重节点差商的Newton插值公式重节点差商表：一阶二阶三阶四阶11210-2100112210得.17．证：取，，，，记：，有又三弯矩方程为：()，.分段积分：由于，，，于是：又：记=由，.得：即当：时,达最小故：,由最小模原理：.20.解利用三弯矩方法，，，解得：，，.第三
4、章最佳逼近及其实现(习题)2.解(1)不是中的内积，事实上容易验证：，但是当且仅当.条件不满足，因为：推出，.因而不是中的内积.(2)是空间的内积，这是因为：推出,，又，故.4.解：由于，则于上保号，由定理5的推论2可知：的交错点组恰有三个交错点，且，，即：故：，记，即证得(1).(2)若，此时由得：，，.误差估计：5.解：选取，使得：，达到极小，即要求，于上一致逼近于，如图应选，使得：,于上有两个轮流为正负偏差点，其中之一为1，另一个假设为于是：,，（为的极值点）得：解得：，,取，.又：是唯一的.6.证明：由最佳一致逼近的特征定理，为的最佳一致逼
5、近多项式，则存在个点使得：=.又由于，于中有一个点，，使得：,即：为满足插值条件：，的插值多项式.7．解：求C*，使得：记,依最佳一致逼近的特征定理：应取于才有两个轮流正负的偏差点，（即于上的最大值点和最小值点），，此时：即为的零次最佳逼近多项式.8.解：因为与零偏差最小，故：.为的最佳一致逼近多项式.9.证明：我们仅证明是偶函数时，亦是偶函数.由于为的最佳一致逼近多项式，有：和：即：亦是的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的惟一性，有：即：为偶函数.11．解：设，分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积计算如下内积：,,,,,,建立法方程
6、组：(1)，得：，于是(2)解得：，，,于是：.12．记：=将与作内积，则得：这里：于是：由此类推，可得行列式有相同的符号，而：故：均大于0矩阵的顺序主子式行列式均大于0，说明是正定矩阵.13.证明记：由于，，…，两两正交，故：.16.证明：1）首先于内至少有一个根，事实上：于内至少有一个变号.2）其次，于内没有重根，设：为次的多项式.故：另一方面：，矛盾最后，设：于内无根，由于（不妨设）另一方面：矛盾.这说明于内只有个单根.17．证明，证：令：，则：,=.□18.解：函数于上的关于权函数的三次最佳平方逼近多项式为：.其中：、，，可以由数值积分公式
7、近似求得.19.解：令：,则：,其中：，为Chebyshev多项式的零点，又Chebyshev多项式是在上与零偏差最小的多项式，即：函数的Lagrange插值多项式余项：有：.（注意：）21．证明：(1)阶矩阵记于是且（对称）由于线性无关，即对于，，有即：A为正定矩阵.(2)当时，这时的最佳平方逼近向量适合法方程组：其中：由于线性无关，有det,故：即：.□23．解求值，使得达到极小值，即求使得：讨论：(1)若，则，极小值为：.(2)若，则极小值为：.(3)若,则，令得极小值点为：，这时，比较：（1）、（2）、（3）无疑处达到极小.□24.解：超定
8、方程组：其中：，，最小二乘法法方程为：即：得：，，.第四章数值积分方法与数值微分(习题)1．解梯形公式：.矩形公式：.以上
