数值计算方法马东升等第2版习题解答

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1、第1章数值计算引论1．1内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。1．截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。例如，要计算级数111112!3!n!k1k!的值，当用计算机计算时，用前n项（有限项）的和n111112!3!n!k1k!来代替无穷项之和，即舍弃了n项后边的无穷多项，因而产生了截断误差1kn1k!2．舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。例如，用3.141

2、59表示圆周率时产生的误差0.0000026„,用0.33333表示13的运算结果时所产生的误差13-0.33333=0.0000033„都是舍入误差。二．近似数的误差表示1．绝对误差*设x是准值x的一个近似值，称**e(x)xx*为近似值x的绝对误差，简称误差。**令

3、e(x)

4、的一个上界为，即***

5、e(x)

6、

7、xx

8、**把称为近似数x的绝对误差限，简称误差限。1/2332．相对误差*设x是精确值x的一个近似值，称**e(x)xxxx*为近似值x的相对误差。在实际应用中常取**xxe(x)r*x*为x的相对误差。**令相对误差绝对值

9、

10、e(x)

11、的一个上界为，即rr**

12、xx

13、*

14、e(x)

15、r*r

16、x

17、**把称为近似数x的相对误差限。r3．有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。*m设数x的近似值x0.xxx10，其中，x是0~9之间的任一个数，但x0，12niii1,2,n是正整数，m是整数，若*1mn

18、xx

19、102***则称x为x的具有n位有效数字的近似值，x准确到第n位，x,x,,x是x的有效数12n字。有效数字位数越多，绝对误差越小。4．有效数字和相对误差*m若近似值x0.xxx

20、10具有n位有效数字，则其相对误差12n*1(n1)

21、e

22、10r2x1有效数字位数越多，相对误差越小。*m若近似值x0.xxx10的相对误差12n2/233*1(n1)

23、e

24、10r2(x1)1*则该近似数x至少有n位有效数字。三．数值计算误差分析1．函数运算误差**设一元函数f(x)，自变量x的近似值为x，函数f(x)的近似值为f(x)，则函数f(x)的绝对误差限***[f(x)]

25、f(x)

26、(x)相对误差限**f(x)*[f(x)]

27、

28、(x)r*f(x)***设多元函数yf(x,x,,x)，自变量x,x,,x的近似值

29、为x,x,,x，函数12n12n12n****y的近似值为yf(x,x,,x)，则函数y的绝对误差限12nn*f**(y)

30、()

31、(x)i1xi相对误差限n**f*(x)(y)

32、()

33、*i1xiy上二式中***ff(x,x,,x)*12n()xxii2．算术运算误差**以x,x两数为例，设x,x分别为准确值x,x的近似值，其误差限分别为121212**(x),(x)，则12****(x,x)(x)(x)1212******(xx)

34、x

35、(x)

36、x

37、(x)1212213/233*****x

38、x

39、

40、(x)

41、x

42、(x)11221*(),x0**22x(x)22三．数值稳定性和减小运算误差1．数值稳定性在数值计算过程中，舍入误差在一定条件下能得到控制，或者说是舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则该计算是数值稳定的，否则是数值不稳定。在实际计算时，要选用数值稳定的方法，不稳定的数值方法不能使用。2．减小运算误差（1）避免相近的数相减，防止有效数字位数损失。（2）防止大数“吃掉”小数，保护重要的物理参数。（3）绝对值小的数不宜做除数。（4）简化计算步骤，减少运算次数。1．2习题及解答1．已知=3.141592654S，问：（1）若其近似值取5位有效数字，

43、则该近似值是多少？其误差限是多少？（2）若其近似值精确到小数点后面4位，则该近似值是什么？其误差限是什么？5（3）若其近似值的绝对误差限为0.510,则该近似值是什么？**14解（1）近似值=3.1416，误差限10。2**14（2）和（1）相同，=3.1416，10。2*（3）=3.14159。2．下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，求各数的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。（1）3580*10解绝对误差限100.5。2**0.54相对误差限1.4100.014%。r*

44、x

45、3580经过四舍五入得到的近