数值计算方法习题new

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1、数值计算方法习题第一章误差1.设x>0，x的相对误差为±，求lnx的误差。2.设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们是几位有效数字：x¤1=1:1021，x¤2=0:031，x¤3=385:6，x¤4=56:430，x¤5=7£1:0。4.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R时允许的相对误差是多少？p5.求方程x2¡56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783¼27:982）。第二章插值法1.当x=1;¡1;2时，f(x)=0;¡3;4，求f(x)的二次插值多项式。2.给定f(x)=lnx的数值表用线性插值及二

2、次插值计算ln0:54的近似值。x0:40:50:60:70:8lnx¡0:916291¡0:693147¡0:510826¡0:357765¡0:2231443.在¡4·x·4上给出f(x)=ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10¡6，问使用函数表的步长h应取多少？4.f(x)=x7+x4+3x+1，求f[20;21;:::;27]及f[20;21;:::;28]。5.求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)=P0(0)=0，P(1)=P0(1)=1，P(2)=1。第三章函数逼近1.观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s)00.

3、91.93.03.95.0距离s(m)010305080110求运动方程。12.已知实验数据如下：。xi1025313844yi19.032.549.073.397.8用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式。第四章数值积分和数值微分1.确定下面求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具有的代数精度：Zhf(x)¼A¡1f(¡h)+A0f(0)+A1f(h):¡h2.分别用梯形公式和Simpson公式计算积分：Z1xdx;n=8:4+x20Z13.用Simpson公式计算积分e¡xdx并估计误差。04.推导下列三种矩形求积公式：Rbf0(´)2f(x)dx

4、=(b¡a)f(a)+(b¡a)a2Rbf0(´)2f(x)dx=(b¡a)f(b)¡(b¡a)a2Rba+bf00(´)2f(x)dx=(b¡a)f()+(b¡a)a224第五章解线性方程组的直接方法1.考虑方程组：8>>>>0:4096x1+0:1234x2+0:3678x3+0:2943x4=0:4043;><0:2246x1+0:3872x2+0:4015x3+0:1129x4=0:1550;>>>>0:3645x1+0:1920x2+0:3781x3+0:0643x4=0:4240;>:0:1784x1+0:4002x2+0:2786x3+0:3927x4=¡0:2557;

5、（1）用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）。（2）用列主元消去法解上述方程组并与（1）比较结果。2.用高斯-约当方法求A的逆阵：0121¡3¡1BCBCB3107CA=BCB¡124¡2C@A10¡1523.下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？010101123111126BCBCBCA=B@241CA;B=B@221CA;C=B@2515CA467331615464.设Ã!10099A=9998求A的条件数cond(A)º（º=2;1）。第六章解线性方程组的迭代法1.设方程组：8>><5x1+2x2+x3=¡12;¡x1

6、+4x2+2x3=20;>>:2x1¡3x2+10x3=3:（1）考察用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组的收敛性；（2）用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组，要求当kx(k+1)¡x(k)k1<10¡4时迭代终止。2.设方程组：8>>x¡1x¡1x=1;>>143442>>¡1x¡1x+x=1;>>414232>:111¡4x1¡4x2+x4=2:（1）求解此方程组的Jacobi迭代法的迭代矩阵的谱半径；（2）求解此方程组的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵的谱半径；（3）考察此方程组的J

7、acobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。3.用SOR方法解方程组（分别取松弛因子!=1:03，!=1，!=1:1）8>><4x1¡x2=1;¡x1+4x2¡x3=4;>>:¡x2+4x3=¡3:¡¢精确解x¤=1;1;¡1。要求当kx¤¡x(k)k<5£10¡6时迭代终止。并且对每一221个!值确定迭代次数。34.证明矩阵011aaBCA=B@a1aCAaa1对于¡1