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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下
2、页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束为L上的有界函数.在L上沿L的方向用分点把L分成n个有向弧段在每一段上任取一点记若存在一个常数I1,I2使得记作记作并且极限值与有向曲线的分法以及机动目录上页下页返回结束在的选取无关,则称I1为对x的曲线积分,记作称I2为对y的曲线积分,记作以后统称它们为对坐标的曲线积分,或第二类曲线积分.其中,L称为积分曲线.称为被积函数,引例中,机动目录
3、上页下页返回结束为了书写的简便,第二类曲线积分记作记作其中，。若为空间曲线弧,记类似地,机动目录上页下页返回结束说明:定义中和的形式与定积分和的形式是有很大的区别的,定积分的取点总是沿着x(y)轴的正负方向的,因此,要么都是正,要么都是负的。但第二类曲线积分的取点是要沿着曲线的某个取定方向,故定义中的不一定是恒正或恒负。从这方面看,定积分实质上就是沿着x轴从a点到b点的第二类曲线积分,因此,定积分是第二类曲线积分的特例.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!3.性质机动目录上页下页返回结束，（k1,k2为常
4、数)(2)若L可分成k条有向光滑曲线弧(3)用L－表示L的反向弧,则则（4）设函数记L1为L位于x轴上方的部分,在L上在曲线L上连续,L关于x轴对称,则机动目录上页下页返回结束方向相同方向相反则方向相同方向相反当曲线关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,对有类似结果.二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为则对空
5、间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明:第二类曲线积分计算时应遵循以下步骤(1)注意利用对称性（性质4）和曲线方程；(2)选取合适的曲线表示形式.平面曲线直角坐标系极坐标系参数化方程空间曲线（参数化方程）(3)代入,转化为定积分,注意上限和下限要由曲线的方向来定.例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,
6、0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录
7、上页下页返回结束类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.
8、两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P198例5)F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束2.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束作业P20
