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1、第二节一对坐标的曲线积分的概念与性质三两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十一章二对坐标的曲线积分的性质与计算称为定向曲线．定向曲线就是指定始点和终点曲线设L是连接A，B曲线，如果指定A是曲线起点，就记成反之记成这时曲线就有了一个确定的方向，B是终点，注(一)定向曲线的概念机动目录上页下页返回结束一、对坐标的曲线积分的概念与性质２定向曲线的表示其中为始点对应的参数，为终点对应的参数。故可能发生（1）称这种定向曲线为参数曲线的正向。（2）称这种定向曲线为参数曲线的负向。若L是Oxy平面的一条封闭曲线，习惯上称其逆时针
2、方向为正方向。机动目录上页下页返回结束２定向曲线的表示这里一定有而定向曲线表示当从连续变到时，描出由点A移动到点B的定向曲线L．显然都可能注定向曲线的参数方程与未定向曲线参数方程不同点在于定向曲线参数方程中参数是始点指向终点，而不管参数的大小关系。机动目录上页下页返回结束事实上当当为负向时为正向时必要非定向曲线参数表示为这里一定有3定向曲线的切向量对光滑曲线其切线向量光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向，对定向曲线的切向量也要定向，与曲线的走向（曲线的方向）相一致．要求切向量的的方向总是指向参数t增加的方向。所以指定单位切向量则相当于
3、选择了曲线的正方向。指定单位切向量为相当于选择了曲线的负方向。机动目录上页下页返回结束亦即对定向曲线若（即始点参数小于终点参数），若则单位切向量为（即始点参数大于终点参数），则单位切向量为机动目录上页下页返回结束设一质点受如下变力作用在XOY平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束（二）第二型曲线积分的定义1变力沿曲线所作的功.机动目录上页下页返回结束沿有向曲线做功大小分析:和方向都在改变.力沿有向曲线做功方向为x轴正向大小为方向为y轴正向大小为的分力沿有向曲线做功的分力沿有向曲线做功等于:之
4、和.即这样力的方向是确定的,方便了问题的讨论.与机动目录上页下页返回结束沿有向曲线做功(1)把L分成n个有向小弧段,上任取一点在记有向小弧段在轴上的投影为在有向小弧段所做的功近似为从点A沿光滑曲线弧L移动到点B所做的功近似为故其中为n个小弧段的最大长度机动目录上页下页返回结束沿有向曲线做功(2)把L分成n个有向小弧段,上任取一点在记有向小弧段在轴上的投影为在有向小弧段所做的功近似为从点A沿光滑曲线弧L移动到点B所做的功近似为故其中为n个小弧段的最大长度设一质点受如下变力作用在XOY平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作
5、的功W.机动目录上页下页返回结束定义设L为XOY平面内从A到B的一条有向曲线,函数机动目录上页下页返回结束在L上沿的L方向任意插入一把L分成n个有向小弧段记在L有界.点列2第二型曲线积分的定义设为n个小弧段的最大长度.机动目录上页下页返回结束若极限总存在,则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记为有向弧段上任意一点,记类似地若极限总存在,则称此极限为在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,函数机动目录上页下页返回结束其中L称为积分弧段称为被积函数,或积分曲线.以上两个积分也称为第二型曲线积分.即也称为第二型曲线积分.注(1)为方向
6、为x-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功物理意义：为方向为y-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功物理意义：物理意义：沿定向曲线L力的始点移动到终点所做的功机动目录上页下页返回结束(2)两类曲线积分的区别与(A)可以不定向,必须是有向曲线.(B)最根本的区别是：对坐标的曲线积分是函数值乘有向弧在坐标上的投影.弧长必然大于零。而向弧在坐标上的投影可正、可负、可零。对弧长的曲线积分是函数值乘弧长，机动目录上页下页返回结束向弧在坐标上的投影可正、可负、可零。机动目录上页下页返回结束(3)当L是垂直于x轴的直线段,则故当L是垂直
7、于y轴的直线段,则机动目录上页下页返回结束类似地我们可以n个函数在机动目录上页下页返回结束记作其中是有向弧在三个坐标轴的投影。维空间中定向曲线的第二型曲线积分。以3维空间第二曲线积分为例：设定向曲线弧上有函数作极限机动目录上页下页返回结束表示力沿定向曲线弧所作的功。（一）性质2若L可分成k条有向光滑曲线弧3用L－表示L的反向弧,则则机动目录上页下页返回结束1线性性质二对坐标的曲线积分的性质与计算定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分存在,且有连续,机动目录上页下页返回结束（二）第二型曲线积分的计算定理:在有向光滑弧L上有定
8、义且L的参数方程为则曲线积分存在,且有连续,机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数同理可证机动目录上页下页返回结束证明:下面先证则定理目录上页下
