对坐标的曲线积分.ppt

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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“分割”“近似”“求和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“分割”.2)“近似”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“求和”4)

2、“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束在空间曲线弧上的对坐标的曲线积分为:称为称为类似地,机动目录上页下页返回结束对y的曲线积分.对x的曲线积分;3.性质(1)若L可分成k条与L同向的光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则,则定

3、积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束注:不一定小于.特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).

4、解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设L的参数方程为则L的切向量为机动目录上页下页返回结束所以所以L的切向量的方向余弦为类似的，有机动目录上页下页返回结束则两类曲线积分有如下联系例5.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束所以L的切向量为则L的切

5、向量的方向余弦为所以因为L的方程为1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束

6、2.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束3.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束