数列前n项和的求法-.ppt

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1、数列前n项和的求法求数列前n项和是数列的重要内容,也是一个难点。求等差(等比)数列的前n项和,主要是应用公式。对于一些既不是等差也不是等比的数列,就不能直接套用公式,而应根据它们的特点,对其进行变形、转化,利用化归的思想,来寻找解题途径。一、拆项转化法例1已知数列中,且(,,且t为常数),求解:当t=1时,当时,分析:观察数列的通项公式,数列可以“分解”为一个公比为t的等比数列和一个公差为1的等差数列,因此,只要分别求出这两个数列的前n项之和,再把它们相加就可得。注意等比数列前n项和公式对公比q的要求,可得如下解法:总结:拆项转化常用

2、于通项是多项式的情况。这时,可把通项拆成两个(或多个)基本数列的通项,再求和。有时也应用自然数的方幂和公式求,常用的有:例2、求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,·‥,1+2+3+·‥+n,·‥的前n项和Sn。解:该数列通项令,,则数列的前n项和数列的前n项和∴二、裂项相消法常用的消项变换有:①:②:③:④:⑤:⑥:二、裂项相消法常用的消项变换有:⑦:例3、求解:由上面⑦知:例4、求解:其“通项”∴三、倒序相加法课本等差数列前n项和公式就是用倒序相加法推导的。例5、已知数列是首项为1,公差为2的等差数列,求分析:注意到且当m

3、+n=p+q时,有:(等差数列的性质)解:,又两式相加得:∴四、错位相消法课本推导等比数列前n项和公式的方法。利用可求两类数列的和,其通项分别是:(Ⅰ)(Ⅱ)例6、求数列的前n项和解:(1)(2)(1)-(2),得五、并项法例7,已知数列的通项,求数列前2n项和解:令∴是首项为-3,公差为-4的等差数列∴评注:用并项法把相邻的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解。六、逐差求和法(又叫加减法,迭加法)当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时,就可用迭加法进行消元例8,求数列:1,3,7,13,21,3

4、1,……的和解:∴两边相加得:……注:把减数移至等号右边,就是我们平时常用的叠加法。当然,这也可叫叠加法。例8,求数列:1,3,7,13,21,31,……的和∴两边相加得:……故取n=1,2,3,…,n,相加得:

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