资源描述：
《数列前n项和的求法8649224》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、求数列前N项和的方法1.公式法等并数列前n项和:讹1+◎)2=nai+7?(72+1)-2~特别的,当前n项的个数为奇数时,52jt+1=(2)1+1)ak+[f即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=l时,Sn=na^ei-/qH1,Sn=」L，特别要注意对公比的讨论。i_q其他公式：w1n11、Sn=^k=-n(n+)2、Sn=^k2=-/?(/?+l)(2n+l)a2)t=i6”13、5zl=^P=[-n(n+l)]2jt=i2-1。Q[例1]已知log3%=,求x+F+兀’+..・+兀"+..
2、.的前n项和.log.3-11解：由log*x==>log3x=-log32=>x=—log232由等比数列求和公式得Sz,=x+x2+x3+•••+xn(利用常用公式)丄(1-丄)_x(1-xm)_2U2卩_]11-x11T2[例2]设Sn=l+2+3+...+n,nWN：求/(〃)=——&——的最大值.5+32)九解：由等差数列求和公式得S”二丄M/1+1),S“+]=丄⑺+1)(/?+2)(利22用常用公式)nn2+34+64n+34+—(Vn-n<—2+5050••-当麻_冷'即n=8时，/(n)max=—2-错位相减法这种方法是在推导
3、等比数列的询n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛%・"｝的前n项和，其中｛%｝、｛*｝分别是等差数列和等比数列.［例3］求和：S”=l+3兀+5兀2+7兀3+…+（2〃_1）兀”一】①解：由题可知,｛（2〃-1）兀心｝的通项是等差数列｛2n—l｝的通项与等比数列｛十打的通项Z积设xS”=lx+3x2+5jc3+7x4+•••+(2n-i)xn②(设制错位)①—②得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+•••+2xn~l-(2n-l)xH(错位相减、再利川等比数列的求和公式得:1-严1-x—(2〃—l)x"Sn=⑵2—1)
4、兀曲—(2〃+1)兀"+(1+X)(IM246In［例4］求数列二冷，气…前n项的和.222232"解：由题口J知，｛#｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛*｝的通项Z积246In设w=2+F+2?+，，，+F，*1246In2〃+i—S=111F2”222324（设制错位）2n122222(l-gs”可+尹+歹+尹+.・・+卫-2曲（错位相减｝J27'12,,+,2n”一1练习：求:Sn=l+5x+9x2+……+(4n-3)xn_,解:Sn=l+5x+9x2+……+(4n-3)xn'1①①两边同乘以x,得xSti=x+5x2+9x3+
5、+(4n-3)x②①-②得,(l~x)Stl=l+4(x+x2+x3++X，1)-(4n-3)x当x=l时,S“=/+5+9+……+(4n-3)=2n2-n当xHl时,S产七［3；丁+八(4n-3)xn］3.反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加，就可以得到n个(％+%).［例5］求sin21°+sin22°+sin23°H—+sin288°+sin289°的值解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°①将①式右边反序得S=s
6、in289°+sin288°+•••+sin23°+sin22°+sin21°②(反序)乂因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1①+②得(反序相加)2S=(sin21°+cos2l°)+(sin22°+cos22°)+---+(sin289°+cos289°)=89S=44.54.分组法求和有一类数列，既不是等弟数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.［例6］求数列的前n项和:1+1,丄+4,—、+7,…,一J+3/?—2,…aa2厂解:设s”=（1+1
7、）+（丄+4）+（丄+7）+…+（丄+3〃-2）acran将其每一项拆开再重新组合得Sn=(1++2+…+_
8、)+(1+4+7+…+3〃一2)acT产（分组）当E时，++5'2（分组求和）a-a+(3/1-1)/21一丄当心时，s“=Y+凹』!_12a［例7］求数列｛n（n+l）（2n+l）｝的前n项和.解：设色=£伙+1）（2R+1）=2疋+3宀£.s”=立伙+l)(2k+1)=£(2疋+3疋+k)k=lk=l将其每一・项拆开再重新组合得（分组）=2(13+23+---+«3)+3(12+22+---+7?)+(1+2+---+«)n2(n+
9、1)2n(n+1)(2/2+1)n(n+1)2+（分组求和）（1c1c1/1练习：求数列1亍2玄,3亍•••,⑺+-）,•••的前n项和。解：目禺+
