数列前n项和的求法总结

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1、数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一．公式法（1）等差数列前n项和：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n+1)2d（2）等比数列前n项和：q=1时，Sn=na1；q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q（3）其他公式：Sn=1+2+3+…+n=12nn+1Sn=12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)Sn=13+23+33+…+n3=[1

2、2nn+1]2例题1：求数列112，214，318，……，n+12n，……的前n项和Sn解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。练习：7二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，

3、用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和

4、等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。练习：（1）7三.裂项相消法裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出

5、前n项和。7例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和解：设Sn=a+2a2+3a3+…+nan①若a=1则：Sn=1+2+3+…+n=若a≠1则：aSn=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得：(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1③则：练习：（1）（2）7（3）求：Sn=1+5x+9x2+…+4n-3xn-1.解：Sn=1+5x+9x2+…+4n-3xn-1①，①两边同乘以x，得xSn=x+5x2+9x3+…+4n-3xn②①-②得，（1-x）Sn=1+4x+x2+x3+…+xn-4n-3xn再用公式法里面的

6、公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。解：∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1把各项相加得：an-a1=3+5+7+…+(2n-1)=∴an=n2-1+a1=n2+5∴Sn=12+22+…+n2+5n=+5

7、n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12+22+…+n2=因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题6：求S=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2(n∈N*)解：①当n是偶数时：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]7=-(1+2+…+n)=-②当n是奇数时：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-[1+

8、2+…+(n-1)]+n2=-综上所述：S=(-1)n+112n(n+1)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。练习：（1）（2）7