第8章-偏微分方程数值解.ppt

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1、第8章偏微分方程数值解一、典型的偏微分方程介绍1.椭圆型方程:在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson方程Laplace方程Poisson方程2.抛物型方程热传导方程:在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。其中a是常数。它表示长度为L的细杆内，物体温度分布的规律3．双曲型方程波动方程(波的传播、物体的振动)它表示长度为L的弦振动的规律。二、定解问题决定方程

2、唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件.定解条件由实际问题提出.解条件抛物型方程边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即边界条件双曲型方程初始条件表示弦在两端振动规律为已知：Poisson方程反应稳定状态的情况，与时间无关，所以不需要提初始条件。边界条件的提法为：其中(x,y)为已知边界，s是区域D的边界。本章主要针对几个典型的微分方程介绍常用的差分方法和有限元方法。这些方法基本思想是：把一个连续问题离散化通过各种手法化成有限形式的线性方程组然后求其解。计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算

3、，它既不能求导数，更不能解偏微分方程如果想在计算机上求得微分方程数值解，它的主要做法是把偏微分方程中所有的偏导数分别用差商代替从而得到一个代数方程组——差分方程组然后对差分方程求解，并以所求的解作为偏微分方程数值解8.1差分法简介因此需要对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，所以差分法亦称“网格法”。0xy把整体分割成若干个单元来处理问题的方法在数学上称为“离散化方法”。在结点上采用离散化方法（数值微分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于离散变量的相应问题，这个相应问题的解就是方程在点xi上

4、的数值解f(x)，或在点（xi,ti）上的数值解U(xi,ti)。一般来说，不同的离散化导致不同的方法。例：取一边长为1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。u=0u=0u=00xyLaplace方程第一边值问题记u在这些点满足方程得到u(i,k)的近似ui,k，所满足的线性代数方程组：其中用迭代法来解方程组简单迭代法高斯—赛德尔迭代法表8.1表8.200000k=400000000.35400.707k=300.1510.3540.4530.70700.2500.751k=2

5、00.250.4270.751000.35400.707k=100.1510.3540.4530.70700000k=000000i=0i=1i=2i=3i=4u(0)000000.7070.4530.2580.151010.5830.4270.18200.7070.4530.2580.151000000表8.3i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4000000.7070.4530.2580.151010.5730.3860.18200.7070.3810.2430.134000000表8

6、.4i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题：1．选用网格，将微分方程离散化为差分方程。2．当网格步长h0时差分方程的准确解是否收敛于微分方程的解？3．如何解相应的代数方程组？8.2椭圆型方程的差分解法椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程泊松方程考虑泊松方程第一边值问题：(一)矩形网格设为xy平面上一有界区域，为其边界，是分段光滑曲线。0xy正则内点非正则内点边界点（二）五点差分格式现在假设（i，k）为正则内点。沿着x，y轴方向分别用二阶中心

7、差商代替uxx，uyy，则得若以uh，fh表示网函数，记则差分方程可简写成：利用Taylor展式这四个式子两两相加便有：于是可得差分方程的截断误差（三）边值条件的处理以第一边值条件为例：非正则内点集合h：边界点集合（1）直接转移法对（xi,yk），用边界上距离这点最近的点的值作为（xi,yk）的值，即（2）线性插值法641352h1则u在这些点上的值有近似关系：（3）列不等距差分方程f1为f在1点的值。8.3抛物型方程的差分解法抛物型方程是指如下形式的方程：很多实际的物理问题都可以用这类方程描述：热传导方

8、程现以热传导方程为例，介绍抛物型方程的有限差分格式。设热传导方程：定解条件(1)(2)求（1）满足（2）的解。8.3.1矩形网格用两组平行直线族xj=jh,tk=k(j=0,1,…，k=0，1,…)构成的矩形网覆盖了xt平面，网格点（xj,tk）称为结点，简记为（j,k），h、为常数，分别称为空间步长及时间步长，或称h为沿x方向的步长，称为沿t方向的步长，，N为正整数。在t=