专题十三-共轭算子与自共轭算子.ppt

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1、专题十三共轭算子与自共轭算子引例1实Rn空间中的共轭算子分析:(1)作映射A:RnRm，则A是有界线性算子，且A的表现形式为一个mn矩阵：x=(x1,…xn)TRn,(2)定义在Rm上的有界线性泛函极为y*,Rm的共轭空间记(Rm)*,即(Rm)*={y*

2、y*为Rm上的有界线性泛函}(Rm)*=Rm(Rm是实的Hilbert空间，因而是自共轭的）y*(Rm)*,y=(y1,…,ym)Rm,使(Riesz表现定理)y*=y(在等距共轭线性同构意义下),且其中(3)不难证明，x*=A*y*是Rn上的有界

3、线性泛函，从而算子A*:(Rm)*(Rn)*，A*y*=x*是一个有界线性算子.称A*为A的共轭算子。(4)结论：在欧式空间中，算子A:RnRm,Ax=y表现为一个mn矩阵A=(aij)mn，A的共轭算子A*:(Rm)*(Rn)*,A*y*=x*则表现为矩阵A=(aij)mn的转置矩阵AT=(aji)nm求实Rn空间中的共轭算子的过程图示将实Rn空间中的共轭算子进行推广，将得到Banah空间的共轭算子的概念和Hilbert空间的自共轭算子概念1巴拿赫空间中的共轭算子的概念定义1(共轭算子)设X、Y是线性赋范空

4、间，T:XY是有界线性算子，即TB(X,Y)，X*、Y*是分别是X、Y的共轭空间，则对y*Y*,x*X*唯一,使得x*(x)=y*(Tx),

5、

6、x*

7、

8、

9、

10、T

11、

12、

13、

14、y*

15、

16、(xX)从而定义了一个从Y*到X*的有界线性算子T*:T*:Y*X*,T*y*=x*则称T*B(Y*,X*)为TB(X,Y)的共轭算子(或伴随算子),并有T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx)定义2(二次共轭算子)TB(X,Y)，T*B(Y*,X*),有T**B(X**,Y**),使T**x**(y*)=x**(T*y

17、*)(y*Y)则称T**为T*的共轭算子，或称为T的二次共轭算子。3)T**与T的关系：在讨论X和X**的关系是得到如下关系：xX,x*X*x**(x*)=x*(x),

18、

19、x**

20、

21、X**=

22、

23、x

24、

25、X,XX**TB(X,Y)，T*B(Y*,X*),有T**B(X**,Y**):T**x**(y*)=x**(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)**(y*)(xX,y*Y*,有T*y*X*,TxY)(Tx)**=T**x**4)若把X嵌入到X**，把Y嵌入到Y**,即XX*

26、*,YY**,则可视x**=x,Tx=(Tx)**=T**x**=T**xT**x=Tx,xX.注:1)T与T*之间具有一定的对称关系2)线性赋范空间中的共轭算子的图示：

27、

28、x*

29、

30、

31、

32、T

33、

34、

35、

36、y*

37、

38、T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx)2巴拿赫空间中的共轭算子的性质定理1设X、Y是线性赋范空间，T:XY是有界线性算子，X*、Y*分别是X、Y的共轭空间，T*:Y*X*为T的共轭算子，则T*一定是有界线性算子，且

39、

40、T*

41、

42、=

43、

44、T

45、

46、证1)证明T*:Y*X*是线性算子。T*(y*+v*)(x)=(y*

47、+v*)(Tx)=y*(Tx)+v*(Tx)=T*y*(x)+T*v*(x)T*(y*)(x)=y*(Tx)=T*y*2)证明T*:Y*X*是有界算子。

48、

49、T*y*

50、

51、=

52、

53、x*

54、

55、

56、

57、T

58、

59、

60、

61、y*

62、

63、T*是有界算子，且

64、

65、T*

66、

67、

68、

69、T

70、

71、3)证明

72、

73、T*

74、

75、=

76、

77、T

78、

79、。一方面，

80、

81、T*

82、

83、

84、

85、T

86、

87、另一方面，有Hana-Banach定理，若T,则存在y*Y*,使得

88、

89、y*

90、

91、=1,

92、y*(Tx)

93、=

94、

95、Tx

96、

97、

98、

99、Tx

100、

101、=

102、y*(Tx)

103、=

104、(T*y*)(x)

105、

106、

107、T*y*

108、

109、

110、

111、x

112、

113、

114、

115、

116、T*

117、

118、

119、

120、y*

121、

122、

123、

124、x

125、

126、=

127、

128、T*

129、

130、

131、

132、x

133、

134、

135、

136、T

137、

138、

139、

140、T*

141、

142、。若T=

143、

144、T*

145、

146、=0=

147、

148、T

149、

150、因此

151、

152、T*

153、

154、=

155、

156、T

157、

158、定理2设X、Y、Z都是线性赋范空间，若T,T1B(X,Y),T2B(Y,Z),则1)(T)*=T8；2)(T2·T1)*=T1*T2*;3)(T1+T2)*=T1*+T2*;4)若I:XX是恒等算子,则I*:X*X*也是恒等算子。证1）y*Y*,xX(T)*y*(x)=y*(Tx)=y*(Tx)=T*y*(x)(T)*=T*；2)z*

159、Z*,xX(T2·T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*[T2(T1x)]=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x)(T2·T1)*=T1*T2*3)(T1+T2)*y*(x)=y*[(T1+T2)(x)]=y*(T1x)+y*(T2x)=T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T