Hilbert+C_27__-模上分块可共轭算子的加权Moore-Penrose逆

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1、论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果．其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中做了明确的声明并表示了谢意．作者签名：倾氐汔日期：加／‘)-<’7论文使用授权声明本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文．保密的论文在解密后遵守此规定．作者群嘴匀鼢师摊：M吻醐一∥。≥7引言加权Moore-Penrose逆概念

2、是在研究Moore-Penrose逆基础上给出的．I．Fred-holm于1903年在解积分方程时最早提出广义逆的概念，当时也称为伪逆．1920年，E．H．Moore推广了非奇异矩阵的逆矩阵的概念，并利用投影矩阵定义了唯一的广义逆，即对于任意的矩阵A∈C_×n，满足：AX=段(A)；XA=马z∽)的n×m矩阵x称为A的广义逆矩阵，记为At．其中段(A)和P冗(x)分别表示冗(A)和n(x1上的正交投影算子．1955年，英国数学家R．Penrose$1J用四个矩阵方程，以很简单、直观的形式给出了矩阵广义逆的定义，即对于任意的矩阵A∈Cm黼，满足下列四个矩阵方程AXA

3、=A，xAx=X，(AX)4=Ax，(XA)+=XA的唯一礼×m矩阵X称为A的广义逆矩阵，记为At．由于可以证明Moore和Penrose所定义的两种广义逆是等价的，为了纪念他们对广义逆研究所作的贡献，现在人们把这种满足四个方程的广义逆称之为Moore-Penrose逆，简称M—P逆．之后不久加权Moore-Penrose逆的概念也被给出，即：设A∈Cm地、M∈Cm×m、N∈C似住且满足M、Ⅳ正定，称唯一的元素X∈C似m为A的加权Moore-Penrose：}煎，-iP__,．为AtMⅣ，若其满足AxA=A，XAX=X，(MAX)+=MAX，(NXA)‘=NXA．

4、特别地，当M、Ⅳ是单位矩阵时，以的加权Moore-Penrose逆就是它的Moore-Penrose逆，简记为∥．随着(加权)Moore。Penrose逆理论研究的不断发展和深入，它们在数值分析、统计学、测量学、最优化、反问题、博弈论、信息处理、自动控制、工程技术等学科中都有广泛的应用，特别在研究(加权)最tJ、--乘问题、病态线性(非线性)、回归、布估计等统计问题，(无约束)约束规划问题控制论和系统识别问题等有着极其广泛的应用(见【2】，【4】，【17】，【18】，【20】)．经过多年的深入研究，(加权)Moo渺Penrose逆理论已经取得了丰硕的研究成果，目前

5、是数学界比较活跃的一个研究领域．作为矩阵广义逆的自然延伸，算子广义逆的研究也具有很重要的作用．由于有限维空间、Hilbert空间以及矿一代数均可以看成是HilbertC·．模，因此在HilbertC·．模的框架下用统一的方法研究算子广义逆具有重要的理论和实践意义．122010上海师范大学硕士学位论文本文的主要工作是在HilbertC+一模的框架下对于一分块矩阵A=(Aj)，得出它与个别块Af有关的加权Moore-Penrose逆的一般表达式．当A=(A1l，A12)是一122分块矩阵时，一些(不加权的)Moore-Penrose逆∥的公式是众所周知的，例P【lCl

6、ine[15]和Milhalyffy【1o】．在加权的情况下，一个lx2分块矩阵A的AkⅣ公式由Miao在【8】中给出．之后，这个公式被Chen[19]、Wang和Zheng[7]用不同的方法重新证明．最近，AkⅣ的另一公式m[11]的第一作者在HilbertC+一模算子的背景下得出．之后不久，对于一固定的矩阵A和不同组的正定矩阵尬、Ⅳl和M2、N2，]JI]]阪Moore-Penrose逆Ak，Ⅳ1)glA*M。，Ⅳ2间的关系在【13】中已阐明．于是，在有限维的情况下，【8，11]给出的AkⅣ两表达式的等价性在【13】得到证明．当A：f凡1712l是2×2分块矩

7、阵时，AoⅣ的表达式会更加得复杂．关＼A21A22／，于∥的表达式，绝大多数文献都是在对Af进行一定限制下给出的．直至U1991年，在对A臼没有任何限制下，Miao在【9】中才给出At的一般表达式．然而，由于在【16，3，91．问题的复杂性，近20年来对Miao的工作从不加权到加权情况的推广一直没有大的进展．本文我们将在一般的HilbertC+一模算子框架下作出一定的贡献．全文共分为四章．在第一章中，我们主要介绍HilbertC+一模、可共轭算子加权Moore-Penrose逆的基本概念和基本性质，并且得出一些和矩阵相类似的结论，如性质1．2．3、1．2．4和1．

8、2．5．在