加权贝格曼空间上的加权复合算子-论文.pdf

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1、第34卷第1期杭州电子科技大学学报V01．34．No．12014年1月JournalofHangzhouDianziUniversityJan．2014doi：10．3969／j．issn．1001—9146．2014．0l一014加权贝格曼空间上的加权复合算子杜阿维，肖建斌，汪骏(杭州电子科技大学数学研究所，杭州浙江310018)摘要：从加权复合算子，的Carleson测度定义出发，刻画了C“中有界对称域上的加权复合算子在加权贝格曼空间上有界性的充要条件。关键词：加权复合算子；加权贝格曼空间；有界对称域中图分类号：O175．1文献标识码：A文章编号：1

2、001—9146(2014)01—0060—030引言复合算子。是函数间的一种基本运算，这类算子是把一个固定的函数与某一个具体的函数空间上的函数复合，作为此函数空间上的线性算子进行研究，而加权复合算子只是复合算子和解析的．Toeplitz的一个推广。加权复合算子主要在一些解析的函数空间上进行研究，特别是在经典的Hardy空间、Bergman空间、Bloch空间上的研究¨，加权复合算子的研究主要体现在有界性和紧性这两方面。对于两个不同类型空间之间的复合算子和加复合算子的讨论和研究，已经有许多深刻的研究成果。对于加权复合算子的研究经常用Carleson测度理

3、论来研究，在文献[5]中对(0

4、数，g(z)寺(。g(z，z))，(1≤i，j≤n)表示n上的Bergman度量。若r：[0，1]--,a是一逐1T1段光滑的C曲线，则s=．J(∑gig(r(￡))r()())。dt表示的是r关于Bergman度量的长度，且。I，J卢(，。。)=inf{(S：r∈[0，1]一n，r(0)=z。，r。=z))表示Q中关于Bergman度量的距离函数，E(a，r)={z∈Q：p(a，z)≤r)是由这个距离函数导出的欧氏拓扑和闭度量球，lE(口，r)】表示E(a，r)的测度。用H(Q)表示Q上全纯函数的全体，dv(z)=K(Z，z)卜dv(z)表示Q上的一个

5、有限加权测度，其中仅>‘一，N是Q的亏格。若Q上的全纯函数，满足rnf【)Idv(z)<∞，其中0

6、r(0，P>0，是Q上的一个正的Borel测度，则是(Q，dv)上的一个(仅+2)一Carleson测度当且仅当：LaP(Q，dv)一Lp(n，d)是有界的。设U表示复平面的单位圆盘，对Q=U的情形，由文献[9]中的内插序列的方法给出了该引理的证明，同时

7、文献[9]最后还指出，可以采用Rochberg推广的内插序列的结论，证明对c“中的有界对称域上的加权Bergman空间上，此引理仍然成立。定理设是Q到自身的一个全纯映照，咖是Q上的全纯函数，P>0，且∈L：(Q，dv)，如果是一个(+2)一Carleson测度，则z)=rk(z)f((z))在(Q，dv)上有界当且仅当对于任意。，(z)EH()及任意的Q上的全纯函数咖(z)，使得Q到自身的一个全纯映射，有T(咖(：)(z))=)成立。证明首先证明必要性：假设如果是一个(+2)一Carleson测度，且加权复合算子。在加权Bergman空间Lp(Q，dv)

8、上有界，则存在常数c，使得对所有∈L：(Q，dv)有：Il，)ll()≤cI川(