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1、Hardy空间H^P（BN）上的加权复合算子第37卷第6期2008年12月数学进展ADVANCESINMATHEMATICSVl01.37.No.6Dec.,2008Hardy空间HP(BN)上的加权复合算子江治杰I2】,柏宏斌.(1.广州大学数学与信息科学学院,广州,广东,510006;2.四川理工学院数学系,自贡,四川,643000)摘要::Blv—BN的全纯映射,EH(BN),其中H(BN)表示BN上全纯函数集合,定义加权复合算子,cf:妒(,O),,EH(BN).本文研究了Hardy空间
2、H(BN)上的加权复合算子的有界性,紧性,弱紧性以及完全连续性,给出了有界性,紧性的充要条件以及证明了紧性与弱紧性的等价关系.最后讨论了加权复合算子的完全连续性.关键词:Hardy空问;加权复合算子;紧算子;弱紧算予;完全连续算子MR(2000)主题分类:47B38;32A374/中图分类号:O174.56文献标识码:A文章编号:1000—0917(2008)06—0749—06设BⅣ是Ⅳ维复Euclidean空间cⅣ中的开单位球,(z)是OBN上的旋转不变面积测度,H(BN)表示BN上全纯函数
3、集合,(0<P<∞)定义Hardy空间(BⅣ)=f∈日(BⅣ)_fl,『l=.芝BIf(r如()<∞);由文献[1]知当0<P<1时,HP(BN)是不变度量空间;当1P<∞时,HP(BN)是Banach空间.对,EHP(BN)径向极限liml一/(rz)a.e于OBN上存在.设是BN到自身的全纯映射,由,=,o,.厂EH(BN),定义的线性算子,称为复合算子.1968年E.Nordgen在文献[2]中首先考虑了复平面c中单位圆盘j[)上的Hardy空间HP(D
4、)上的这类算子,得到了由内函数诱导的复合算子都是有界的等一系列结论.对单位球上Hardy空间HV(BN)上复合算子的研究开始于上世纪80年代,而且从文献【3—5】中可以看出HP(BN)上复合算子的性质与HP(D)上的有着许多本质的不同,例如在HP(BⅣ)上存在着无界复合算子.设是BN上一全纯函数,由f=.厂,,EH(BN),定义的算子,称为解析Toeplitz算子.文献[6】证明了:日(D)一日(D)有界当且仅当砂∈日o..设是BN到自身的全纯映射,砂是BN上一全纯函数,由,.厂=妒(.厂.),
5、定义的算子,称为加权复合算子.加权复合算子由C.C.Cowen在文献[7]中为解决Deddens和Wong在1973年提出的"在Hardy空间日(D)上是否存在一有界解析Toeplitz算子与一非零紧算子交换"这一问题引进的.显然,加权复合算子是复合算子和解析Toeplitz算子的推广,近几年来文献[8-9]先后对Hardy空间HP(D),P—Bloch空间上的这类算子进行了研究,但对定义在HP(BN)上的这类算子的研究目前尚不多见.为了本文的需要先回忆一些定义.收稿日期:2007-01—31.
6、修改稿收到日期:2008-08—07基金项目:四川省教育厅重点项目(No.0720A04)E—mail:matjzj@126.tom750数学进展3倦定义设,y是Banach空间,T:X—y线性算子,若将x中的有界集映为y中的相对紧集,称是紧算子;若将中的有界集映为y中的相对弱紧集,称为弱紧算子;若将中的弱紧集映y中的紧集,称为完全连续算子.从文献[1112】中知每个紧算子是弱紧的,每个紧算子是完全连续的,反之不然.但是白反空间上的完全连续算子必是紧算子,D.Sarason在文献【13】中证明了
7、日(J[))上的复合算子是紧的当且仅当是弱紧的.然而对H(BN)上的加权复合算子是否也有这样的结论目前还不清楚.本文借用文献[141对(,)中紧子集的刻画,给出了H(BN)上加权复合算子紧性与弱紧性的关系,回答上述的问题.此外本文还考虑了Hardy空间HP(BⅣ)上加权复合算子的有界性,以及1<P<..时,HB(BⅣ)上加权复合算子的紧l生.由于1<P<∞时,HP(BN)是自反空间,此时,HP(BN)上加权复合算子的紧性与完全连续性是等价的.由H(BN)不是自反空间,文章
8、最后考虑了日(BⅣ)上加权复合算子的完全连续性,并给出一个例子说明H(BN)上的完全连续加权复合算子不是紧的.1有界性定义1.1设是百Ⅳ上的正Borel测度,f∈OBN,s(,r)=z∈一BN:l—I(,)l_<r),若存在常数M>0,使得对∈∈OBⅣ,0<r<1,有(s(∈,7'))MrⅣ,称为百Ⅳ上的Carleson测度.对:BN—BN全纯映射,令=(l,2,…,Ⅳ),由于每个坐标函数其径向极限a.e.在OBⅣ存在,因此得到百Ⅳ上的一个映射,不妨仍记为.对∈HP(BN
