第2章二元关系ppt课件.ppt

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1、第二章二元关系§1二元关系及其表示形式§2二元关系的基本类型与判定方法§3等价关系、相容关系和偏序关系§4复合关系、逆关系和关系的闭包运算1§2.1二元关系及其表示形式本节要求掌握的知识点：1、序言：何谓关系？多样性？2、笛卡尔乘积：概念、求法。3、二元关系的定义4、二元关系的3（+1）种表示方法2[相关]:按照某种规则，确定二个对象或多个对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相关的。注意:相关性与指定的规则有关。(1)扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ同花关系：不相关；同点关系：相关(2)父子二人同辈关系：不相关；父子

2、关系：相关2.1.1、序言：关系（相关）3注：二元关系：二个对象之间的关系多元关系：多个对象之间的关系多元关系常化成二元关系来研究无序的二元关系：方块ｋ与梅花ｋ，谁在前，谁在后都还是同点的。有序的二元关系：父子关系，不能交换父与子的次序又如:（1）ａ＋ｂ＝偶数，ａ与ｂ是无序的用［ａ，ｂ］表示无序对（2）ａ≤ｂ，ａ与ｂ是有序的二元关系，叫作ａ相关于ｂ，记成ａｒｂ，用（ａ，ｂ）表示有序对（3）无序的二元关系可用有序的二元关系表示即（ａ，ｂ）与（ｂ，ａ）都属于这种二元关系42.1.2、集合的笛卡儿乘积[有序对]：设有

3、二个集合Ａ与Ｂ，Ａ中任取元素ａ，Ｂ中任取元素ｂ，ａ与ｂ建立一种对应关系，记为（ａ，ｂ），总是把Ａ中元素写在前面，Ｂ中元素写在后面，称（ａ，ｂ）为有序对。5有序对的集合｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，b∈Ｂ｝称为Ａ对Ｂ的直交积，记为Ａ×Ｂ，又称叉积，笛卡儿（Descartes）乘积。注：Ａ×Ｂ≠Ｂ×Ａ，不满足交换律，也不存在结合律！笛卡儿积满足分配律：（对∪，∩，－，⊕）（１）Ａ×（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ×Ｂ）∪（Ａ×Ｃ）（２）（Ｂ∩Ｃ）×Ａ＝（Ｂ×Ａ）∩（Ｃ×Ａ）（３）（Ｂ⊕Ｃ）×Ａ＝（Ｂ×Ａ）⊕（Ｃ×Ａ）（４）（Ａ－Ｂ）×Ｃ＝（

4、Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）6（４）的证明：对（ｘ，ｙ）∈（Ａ－Ｂ）×Ｃｘ∈Ａ－Ｂ且ｙ∈Ｃｘ∈Ａ，ｙ∈Ｃ，ｘＢ（ｘ，ｙ）∈Ａ×Ｃ，（ｘ，ｙ）Ｂ×Ｃ（ｘ，ｙ）∈（Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）即得（Ａ－Ｂ）×Ｃ（Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）其次，对（ｘ，ｙ）∈（Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）（ｘ，ｙ）∈Ａ×Ｃ而（ｘ，ｙ）（Ｂ×Ｃ）ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｃ而ｘＢｘ∈Ａ－Ｂ，ｙ∈Ｃ（ｘ，ｙ）∈（Ａ－Ｂ）×Ｃ即得（Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）（Ａ－Ｂ）×Ｃ因此，（Ａ－Ｂ）×Ｃ＝（Ａ×Ｃ）－（Ｂ×Ｃ）7Ａ×Ｂ的几何意义：设Ａ＝［ａ，ｂ］，Ｂ＝［

5、ｃ，ｄ］，均为实闭区间则有序对（ｅ，ｆ），ｅ∈Ａ，ｆ∈Ｂ，是平面上一个点（1）Ａ×Ｂ表示矩形区域［ａ≤ｘ≤ｂ，ｃ≤ｙ≤ｄ］（2）Ｂ×Ａ应为矩形区域［ｃ≤ｘ≤ｄ，ａ≤ｙ≤ｂ］注：（1）当且仅当Ａ＝Ｂ时Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ａ，是正方形区域（2）由于Ａ×Ｂ也是集合，它应满足集合的一切性质8按照某种规定，定义了一个有序对（ａ，ｂ）的集合Ｒ，其中ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，称Ｒ为Ａ到Ｂ的一个二元关系。(显然RA×B，即：A×B的任意一个子集合都是A到B的一个二元关系！)注意:二元关系是指满足某规律的有序对的全体。例：Ｒ＝{（ａ,ｂ）｜ａ∈Ａ

6、,ｂ∈Ｂ,ａRｂ},其中ａRｂ读作ａ相关于ｂ。二元关系的定义9二元关系的前域和值域：若R是A到B的二元关系前域：domR={x

7、（x，y）∈R}值域：ranR={y

8、（x，y）∈R}空关系和全域关系：（其他一般的二元关系？？）空关系：Φ全域关系：A×B当Ａ＝Ｂ时，Ｒ是Ａ到Ａ的二元关系，称为Ａ上的二元关系。（A到A的二元关系）例：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ

9、ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝是自然数集Ｎ上的二元关系。（称为“整除关系”）102.1.3二元关系的几种表示方法[二元关系的表示]：因为，二元关系本身也是集合，也可用穷举法，描述法

10、来表示，还可用表格、图示、矩阵法表示。例如：Ａ＝｛张三，李四，王五，赵六｝Ｂ＝｛１００米，跳高，铅球，足球，跨栏｝穷举法表示：Ｒ＝｛（张三，铅球），（张三，足球），（李四，１００米），（李四，跳高），（王五，跨栏），（赵六，１００米）｝是运动会的报名表。11**二元关系的表示：（1）集合法(穷举法、描述法)Ｒ＝｛（张三，铅球），（张三，足球），（李四，１００米），（李四，跳高），（王五，跨栏），（赵六，１００米）｝是运动会的报名表，12（2）表格法用表格表示一目了然13（3）图示法用字母数字来代替这些元素Ａ＝{a

11、，b，c，d}，Ｂ＝{1，2，3，4，5}关系图，直观！Ｒ＝｛(a,3),(a,4),(b,１),(b,2),（c,5),（d,1）｝14（4）矩阵法：把Ａ，Ｂ集合内元素排好序:15若Ｒ＝｛（ａ，ａ）｜ａ∈Ａ｝，称Ｒ为恒等关系，常用IA表示。说明：对于一个给定的有限集合，其上的恒等关系IA是唯一确定的。而且，恒等关系一定是A上的。例：A={1，2，3，4}上的恒等关系为：