(第10讲)二元关系.ppt

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1、14.1.4关系的性质一、自反性和反自反性定义设A是一个集合，R是A上的二元关系，（1）若a∈A，都有∈R，则称R是自反的，或称R具有自反性。（2）若a∈A，都有R，则称R是反自反的，或称R具有反自反性。设A={a,b,c,d}，例R={,,,,,}。因为A中每个元素x，都有∈R，所以R是自反的。R的关系图R的关系矩阵2S={,,,,,}。例(续1)S的关系图S的关系矩阵

2、因为A中每个元素x，都有S，所以S是反自反的。3T={,,,,,,}。例(续2)因为A中有元素b，使T，所以T不是自反的；因为A中有元素a，使∈T，所以T不是反自反的。T的关系图T的关系矩阵45有关说明：（1）注意定义中“任意”，“都”这两个词。（2）如果R不是自反的，则R未必一定是反自反的。一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的。（3）表现在关系图上：关系R是自反的，当且仅当其关系图中每个结点都有环；关系R是反自反的，

3、当且仅当其关系图中每个结点都无环。（4）表现在关系矩阵上：关系R是自反的，当且仅当其关系矩阵的主对角线上全为1；关系R是反自反的当且仅当其关系矩阵的主对角线上全为0。6例1R是Z上的整除关系，则R具有自反性。证明：x∈N，x能整除x，∴∈R，∴R具有自反性。例2R是Z上的同余关系，则R具有自反性。证明：x∈Z，(x-x)/k=0∈Z,∴x与x同余，∴∈R，∴R具有自反性。其它≤，≥关系，倍数关系，人与人的同名关系、集合的关系，均是自反的。7例3Z上的大于关系是反自反关系。证明：x∈Z，x不大于x，

4、∴R，∴N上的大于关系是反自反的。其他的如实数上的＜，＞关系,人与人的父子关系,均是反自反关系。8二、对称性定义设R是A上的关系，a,b∈A，如果∈R，则必有∈R，则称R是对称的，或称R具有对称性。例如，A={1，2，3，4}R1＝{<1,1>，<2,3>，<3,2>}，则R1是对称的；R2＝{<1,1>，<3,3>}，则R2也是对称的；R3＝{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,1>}，则R3不是对称的，因<3,1>∈R，而<1,3>R。9有关说明:<1>由对称性的定义可知，如果R

5、是对称的，则当R时，必有R。<2>对于像，这种序偶是否属于R对R的对称性没有影响。R1的关系图R1的关系矩阵是对称的例设A={a,b,c}，R1={,,}例R是Z上的模5同余关系,则R是对称关系；证明：R＝{

6、x,y∈Z，(x-y)/5∈Z}x,y∈Z，如果∈R，则(x-y)/5∈Z所以，(y-x)/5＝-(x-y)/5∈Z∴∈R，故R具有对称性。10R3={,,,}例(续1)R

7、4={,}既不是对称的，也不是反对称的R3的关系图R3的关系矩阵既是对称的，也是反对称的R3的关系图R3的关系矩阵1112对称关系的关系矩阵和关系图的特点1.对称关系的关系矩阵是对称矩阵，即rij＝rji；因为rij＝1∈R∈Rrji＝1∴一切i,j，rij＝rji=12.对称关系的关系图的特点是任何两个不同的结点之间，或者是一来一回两条边（弧），或者是没有边（弧）。而是否有自回路，对对称性没有影响。显然,全域关系UA，空关系，恒等关系A，都是对称的。13三、反对称性

8、定义如果R是A上的关系，a,b∈R如果∈R且∈R，则必有a＝b，称R是反对称的。有关说明:<1>该定义的等价说法是：a,b∈A，如a≠b，∈R，则必有R。即两个不同点结点间不允许有两条边（弧）。<2>该定义的否命题说法并不成立。即“a≠b，R，则∈R”并不成立，即反对称关系的关系图允许两个不同点间没有弧。14例2R是N上的整除关系,即R＝{

9、x,y∈N,y/x∈N},显然，如果x能整除y，且x≠y，则y不能整除x。所以R是反对称的。例1设A={a,

10、b,c}，R2={,}R2的关系图R2的关系矩阵是反对称的15例3A是某集合，R是ρ(A)上的包含关系。因u、v∈ρ(A)，如u≠v，且uv，则必有vu,所以，包含关系R是反对称的。换一种理解，如果u,v∈ρ(A)，有uv，vu，则必有u＝v。∴集合A上的包含关