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1、第四章二元关系第四章二元关系4.1关系的基本概念4.2关系的性质4.3关系的表示4.4关系的运算4.5特殊关系4.1关系的基本概念定义：设且为n个任意集合，(a)称R为间的n元关系；(b)若n=2，则称R为A1到A2的二元关系；(c)若，则称R为空关系；若，则称R为全关系；(d)若，则称R为A上的n元关系。一、关系的定义一、关系的定义例：令则称R1是N上的一元关系，R2是N上的二元关系，R3是N上的三元关系。如无特殊指定，“关系”概指二元关系。若序偶属于R，则记作或，否则，记作或。一、关系的定义例：设集合A={a,b},B={2,5,8}则令则均是由A到B的关系。
2、同理，则是由B到A的关系。同理，则是由B到B的关系。一、关系的定义例：设集合A={2,3,5,9}，试给出集合A上的小于或等于关系，大于或等于关系。解：令集合A上的小于或等于关系为R1，大于或等于关系为R2，根据定义有：二、关系的相等定义：设R1为A1,A2,…,An间的n元关系，R2为B1,B2,…,Bm间的m元关系，如果：（1）n=m（2）若，则（3）把R1和R2作为集合看，R1=R2。则称n元关系R1和m元关系R2相等，记作R1=R2二、关系的相等例：设R1为从Z到I+的二元关系，R2和R3都是I上的二元关系从集合的观点来看，R1=R2=R3。但是就二元关系
3、来说，R2=R3，不等于R1。三、关系的定义域和值域关系R(从A到B的关系)的定义域(简称为域)定义为：关系R的值域定义为：显然，有例：设A={2,3,5},B={2,6,7,8,9}，由A到B的关系R定义为：当且仅当a整除b时，有aRb。可得:D(R)={2,3}R(R)={2,6,8,9}AB第四章二元关系4.1关系的基本概念4.2关系的性质4.3关系的表示4.4关系的运算4.5特殊关系4.2关系的性质定义：设R为A上的二元关系(1)若对每个，皆有，则称R为自反的。用式子来表述即是：R是自反的(2)若对每个，皆有，则称R为反自反的。用式子来表述即是：R是反自反
4、的4.2关系的性质(3)对任意的，若，则，就称R为对称的。用式子来表述即是：R是对称的(4)对任意的，若且，则x=y，就称R为反对称的。用式子来表述即是：R是反对称的4.2关系的性质(5)对任意的，若且，则，就称R为可传递的。用式子来表述即是：R是可传递的(6)存在，并且而，就称R为不可传递的。用式子来表述即是：R是不可传递的4.2关系的性质例1：考虑自然数集合上的普通相等关系“=”，大于关系“>”和大于等于关系“”具有的性质。解：(1)“=”关系是自反的、对称的、反对称的、可传递的；(2)“>”关系是反自反的、反对称的、可传递的；(3)“”关系是自反的、反对称的
5、、可传递的。例2：空集上的二元关系的性质。自反的、对称的、反对称的、反自反的、可传递的集合的压缩和开拓定义：设R为集合A上的二元关系且，则称S上的二元关系为R在S上的压缩，记为，并称R为在A上的开拓。定理：设R为A的二元关系且，那么：(1)若R是自反的，则也是自反的；(2)若R是反自反的，则也是反自反的；(3)若R是对称的，则也是对称的；(4)若R是反对称的，则也是反对称的；(5)若R是可传递的，则也是可传递的；第四章二元关系4.1关系的基本概念4.2关系的性质4.3关系的表示4.4关系的运算4.5特殊关系4.3关系的表示定义：设A和B为任意的非空有限集，R为任意
6、一个从A到B的二元关系。以中的每个元素为结点．对每个皆画一条从x到y的有向边，这样得到的一个图称为关系R的关系图。一、关系图例：A={1,2,4};B={3,5,6};关系R={<1,3>,<2,6>,<2,5>}A124B356一、关系图例：设A={2,3,4,5,6},B={6,7,8,12}，从A到B的二元关系R为，画出其关系图。解：先求出R一、关系图对称关系反对称关系二、关系矩阵定义：给定两个有限集合X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，R是从X到Y的二元关系，如果有：则称是R的关系矩阵，记作MR。例：设A={1,2,3,4},R为定
7、义在A上的二元关系，R={<2,1>,<3,1>,<3,2>,<4,1>}，写出关系矩阵。二、关系矩阵例：设A={1,2,3},B={a,b,c},R是A到B的二元关系，并且，试画出R的关系图，给出关系矩阵。二、关系矩阵如果关系矩阵主对角线上的记入值全为1，则R是自反的；如果主对角线上的记入值全为0，则R是反自反的；如果矩阵关于主对角线是对称的，则R是对称的；如果矩阵关于主对角线是反对称的，(亦即rij=1时则一定有rji=0),则R是反对称的；如果对于任意的i,j,k,rij=1并且rjk=1时一定有rik=1，则R是可传递的；如果存在i,j,k,rij=1并且
8、rjk=1
