二元关系和函数ppt课件.ppt

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1、二元关系1集合的笛卡儿积2二元关系3关系的性质4等价关系和等价划分5相容关系与最大相容6偏序关系7格与概念格11集合的笛卡儿积和二元关系有序对笛卡儿积二元关系二元关系的表示2有序对定义由两个客体x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当xy时）与相等的充分必要条件是=x=uy=v例1<2,x+5>=<3y4,y>，求x,y.解3y4=2,x+5=yy=2,x=33有序n元组定义一个有序n(n3)元组

2、,…,xn>是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即=<,xn>当n=1时,形式上可以看成有序1元组.实例n维向量是有序n元组.4笛卡儿积定义设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，即AB={

3、xAyB}例2A={1,2,3},B={a,b,c}AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}BA={,,,,,,,

4、,}A={},P(A)A={<,>,<{},>}5二元关系的定义定义如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空,且它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R.如∈R,可记作xRy；如果R,则记作xy实例：R={<1,2>,},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.6在日常生活和实际工作中，“关系”这个词的含义如：父子关系，夫妻关系，同学关系，师生关系等。下面采用集合论的观点来描述

5、这类关系。如集合A={a,b,c,d,e},其中a,b,c,d,e是五个人，a是b的父亲，c是d的父亲，c又是e的父亲。现将这5个人中所有符合父子关系的两个人，用有序对：(a,b),(c,d),(c,e)来表示，如果以这些有序对作为元素构成集合，即R={(a,b),(c,d),(c,e)}那么R就完整地描述了a,b,c,d,e中的父子关系。称R为集合A上的一个关系(父子关系)。这种有序对仅由两个元素组成的关系称为二元关系。7关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，R是从

6、A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR=[rij]mn,其中rij=1R.关系图：若A={x1,x2,…,xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=,其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R，在图中就有一条从xi到xj的有向边.注意：A,B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系8从A到B的关系与A上的关系定义设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上的二元关系.例4A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2

7、>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系.计数

8、A

9、=n,

10、A×A

11、=n2,A×A的子集有个.所以A上有个不同的二元关系.例如

12、A

13、=3,则A上有=512个不同的二元关系.9实例例如A={1,2,3},B={a,b},则LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}A=P(B)={,{a},{b},{a,b}},则A上的包含关系是R={<,>,<

14、,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}10A上关系的性质1自反性2反自反性3对称性4反对称性5传递性112等价关系与偏序关系等价关系的定义等价类及其性质商集与集合的划分等价关系与划分的一一对应相容关系偏序关系偏序集与哈斯图偏序集中的特定元素12等价关系和划分定义设R是A上的二元关系，如果（1）R是自反的；（2）R是对称的；（3）R是可传递的。则称R是A上的等价关系。若∈R,称x等价于y,记做x～y.等价关系是经常使用的重

15、要的二元关系。1、等价关系的定义一、等价关系13例如，我们用a,b,c,d,e,