二元关系和函数_1ppt培训课件

《二元关系和函数_1ppt培训课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.1集合的笛卡儿积与二元关系4.2关系的运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义和性质4.7函数的复合和反函数第4章二元关系和函数4.1集合的笛卡儿积与二元关系定义4.1由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。有序对的特点：1.当xy时,。2.两个有序对相等,即＝的充分必要条件是x＝u且y＝v。定义4.2一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元素是一个有序n－1元组

2、,一个有序n元组记作,即＝<,xn>例如,空间直角坐标系中点的坐标<1,－1,3>,<2,4.5,0>等都是有序3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。定义4.3设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作A×B。符号化表示为A×B＝{

3、x∈A∧y∈B}.例如,A＝{a,b},B＝{0,1,2},则A×B＝{,,,,,}；

4、B×A＝{<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。如果A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B和B×A中都有多少个元素?mn个若A×B,则有x∈A和y∈B.若A×B,则有xA或者yB.笛卡儿积运算的性质:1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,即B＝B×＝2.当A≠B且A,B都不是空集时,有A×B≠B×A。所以,笛卡儿积运算不适合交换律。3.当A,B,C都不是空集时,有(A×B)×C≠A×(B×C).所以,笛卡儿积运算不适合结合律。4.笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即A×

5、(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)。证明A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)证明对于任意的,∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C).所以A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。例4.1设A={1,2},求P(A)×A.解P(A)×A＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,

6、2}＝{<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>,<{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>}例4.2设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。(1)(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)；(2)(A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)；(3)(A－B)×(C－D)＝(A×C)－(B×D)；(4)(AB)×(CD)＝(A×C)(B×D).解.(1)(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)成立.因为对于任意的,(A∩B)×(C∩D)xA∩B∧y

7、C∩DxA∧xB∧yC∧yDA×C∧B×D(A×C)∩(B×D)(2)(A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)不成立。举一反例如下：若A＝D＝,B＝C＝{1}则有：(A∪B)×(C∪D)＝B×C＝{<1,1>},(A×C)∪(B×D)＝∪＝。(3)和(4)都不成立。10(3)(A－B)×(C－D)＝(A×C)－(B×D)不成立.举一反例如下：若A＝B＝{1},C＝{0,1},D={0}则有：(A－B)×(C－D)＝×{1}＝,(A×C)－(B×D)＝{<1,0>,<1,1>}－{<1,

8、0>}＝{<1,1>}.(AB)×(CD)＝(A×C)(B×D)不成立.反例同(3),(AB)×(CD)＝×{1}＝,(A×C)(B×D)＝{<1,0>,<1,1>}－{<1,0>}＝{<1,1>}.例4.3设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假.(1)若AC且BD,则有A×BC×D。(2)若A×BC×D,则有AC且BD.解(1)命题为真。因为对于任意的,A×BxA∧yBxC∧yDC×D(2)命题为假.当A＝B＝时,或者A≠且B≠时,该命题的结论是成立的。但是当A和

9、B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C＝D＝,B＝{1},这时A