二元关系和函数

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1、第4章二元关系和函数4.1序偶与笛儿积4.2关系及表示4.3关系的运算4.4关系的性质4.5关系的闭包4.6等价关系和划分4.7序关系4.8函数的定义和性质4.9函数的复合和反函数4.10集合的基数4.11例题选解习题四4.1序偶与笛卡儿积定义4.1.1(有序对(或序偶)，orderedpairs)由两个元素x和y（允许x=y）按一定次序排列组成的二元组称为一个有序对或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。注意，第一、二元素未必不同。如平面直角坐标系中的任意一点坐标（x,y）均是序偶，而全体这种实数对

2、的集合{(x,y)

3、x∈R∧y∈R}就表示整个平面。有序对〈x,y〉具有以下性质：(1)当x≠y时，〈x,y〉≠〈y,x〉。(2)〈x,y〉=〈u,v〉的充要条件是x=u且y=v。(3)〈x,x〉也是序偶。这些性质是二元集{x,y}所不具备的。例如当x≠y时有{x,y}={y,x},原因是有序对中的元素是有序的，而集合中的元素是无序的。再例如，{x,x}={x}，原因是集合中的元素是互异的。由性质(２)可推出〈x,y〉=〈y,x〉的充要条件是x=y。有序对的概念可以进一步推广到多元有序组。定义4.1.2(n元有序组)若n∈N且n＞

4、1，x1,x2,…,xn是n个元素，则n元组〈x1,x2,…,xn〉定义为：当n=2时，二元组是有序对〈x1,x2〉；当n≠2时，〈x1,x2,…,xn〉=〈〈x1,x2,…，xn-1〉,xn〉本质上,n元有序组依然是序偶。n元有序组有如下性质：〈x1,x2,…，xi,…,xn〉=〈y1,y2,…，yi，…，yn〉的充要条件是x1=y1,x2=y2,…,xi=yi,…,xn=yn。前面提到，一个序偶〈x,y〉的两个元素可来自不同的集合，若第一元素取自集合A,第二元素取自集合B，则由A、B中的元素，可得若干个序偶，这些序偶构成的集

5、合，描绘出集合A与B的一种特征，称为笛卡儿乘积。其具体定义如下：定义4.1.3设Α,Β为集合，用Α中元素为第一元素，Β中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合称为集合Α和Β的笛卡儿积(cartesianproduct)，又称作直积，记作Α×Β。Α和Β的笛卡儿积的符号化表示为A×B={〈x,y〉

6、x∈A∧y∈B}定义4.1.4(n阶笛卡儿积(cartesianproduct))若n∈N，且n＞1，A1,A2,…,An是n个集合，它们的n阶笛卡儿积记作A1×A2×…×An,并定义为:A1×A2×…×An={〈x1,x2,…,

7、xn〉

8、x1∈A1∧x2∈A2,…,xn∈An}当A1=A2=…=An=A时，A1×A2×…×An简记为An。【例4.1.1】设A=｛1,2｝，B=｛a,b,c｝，C=｛｝,R为实数集，则（1）A×B=｛〈1,a〉，〈1,b〉，〈1,c〉，〈2,a〉，〈2,b〉，〈2,c〉｝B×A＝｛〈a,1〉，〈b,1〉，〈c,1〉，〈a,2〉，〈b,2〉，〈c,2〉｝Φ×A=Φ(2)A×B×C=(A×B)×C={〈1,a,Φ〉，〈1,b,Φ〉，〈1,c,Φ〉，〈2,a,Φ〉，〈2,b,Φ〉，〈2,c,Φ〉｝A×(B×C)=｛〈1,〈a

9、,Φ〉〉，〈1,〈b,Φ〉〉，〈1,〈c,Φ〉〉，〈2,〈a,Φ〉〉，〈2,〈b,Φ〉〉，〈2,〈c,Φ〉〉｝(3)A2={〈1,1〉,〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,2〉}(4)B2={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈c,b〉,〈c,c〉}(5)R2=｛〈x,y〉

10、x,y是实数｝，R2为笛卡儿平面。显然R3为三维笛卡儿空间。显然A×B与B×A所含元素的个数相同（A,B是有限集合），但A×B≠B×A。定理4.1.1若A,B是有穷集合，则有

11、A×B

12、=

13、A

14、·

15、B

16、(·为数乘运算)该定

17、理由排列组合的知识不难证明。定理4.1.2对任意有限集合A1，A2,…，An，有

18、A1×A2×…×An

19、＝

20、A1

21、·…·

22、An

23、(·为数乘运算)这是十分直观的，可用归纳法证明之。定理4.1.4(笛卡儿积与运算的性质1)对任意的集合A,B和C，若C≠Φ，则(AB)(A×CB×C)(C×AC×B)该定理中的条件C≠Φ是必须的，否则不能由A×CB×C或C×AC×A推出AB。定理4.1.5(笛卡儿积与运算的性质2)对任意的集合A,B,C和D，有(A×BC×D)(AC∧BD)4.2关系及表示关系是客观世界存在的普遍现象，它

24、描述了事物之间存在的某种联系。例如，人类集合中的父子、兄弟、同学、同乡等，两个实数间的大于、小于、等于关系，集合中二直线的平行、垂直等等，集合间的包含，元素与集合的属于……都是关系在各个领域中的具体表现。表述两个个体之间