CH4_二元关系和函数____1_二元关系的基本概念

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1、离散数学CH4二元关系和函数回顾用推理规则证明：

2、=ØA证明：设论域D={a,b,c}，求证：第4章二元关系和函数本章学习1.集合的笛卡尔积2.关系及其表示3.关系的运算4.关系的性质5.关系的闭包6.等价关系和偏序关系7.函数的定义和性质8.函数的复合和反函数今日内容集合的笛卡尔积关系及其表示关系的运算笛卡尔乘积定义：由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对（也称序偶），记做，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。平面直角坐标系中点的坐标就是序偶。例如，<1,-1>,<2,0>,<1.1,4>,<-1,1>,….都代表坐

3、标系中不同的点。序偶的特点（与集合的不同之处）当x≠y时，≠两个有序对相等，即=的充要条件是x=u,且y=v定义（有序n元组）:一个有序n元组（n≥3）是一个有序对，记做,其中第一个元组是一个有序n-1元组，即=<,xn,>例如，空间直角坐标系中点的坐标〈1,-1,3〉,〈2,4,0〉等都是有序3元组。N维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组定义（笛卡儿积）:设A，B为集合，用A中元素作为第一元素，B中元素作为第二元素，构成序偶。所有这样的序偶组成的集合

4、叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。符号化表示为A×B={

5、x∊Ay∊B}例:若A={a,b},B={0,1,2},则A×B={,,,,,}B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}笛卡儿积中元素的个数如果A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B和B×A中都有mn个元素笛卡儿积运算的性质若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集.即×B=A×=笛卡儿积运算不适合交换律:当A≠B且A,B都不是空集时,有A×B≠B×A笛卡儿积运算不适合结合律:当A,B

6、,C都不是空集时,有(A×B)×C≠A×(B×C)设x∈A,y∈B,z∈C,那么<,z>∈(A×B)×C,>∈A×(B×C)。一般情况下,<,z>≠>所以,(A×B)×C≠A×(B×C)笛卡儿积运算对⋃或⋂运算满足分配律，即A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C)(B⋃C)×A=(B×A)⋃(C×A)A×(B⋂C)=(A×C)⋂(A×C)(B⋂C)×A=(B×A)⋂(C×A)证明A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C)对于任何的〈x,y〉，〈x,y〉∈A×(B⋃C)x∈Ay∈B⋃Cx∈A(y∈By∈C)(

7、x∈Ay∈B)(x∈Ay∈C)〈x,y〉∈A×B〈x,y〉∈A×C〈x,y〉∈(A×B)⋃(A⋃C)所以A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A⋃C)例:设A={1，2}，求P（A）×A解:P（A）×A={，{1}，{2}，{1,2},}×{1，2}={〈,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>，<{2},1>，<{2}，2〉，〈{1，2}，1〉,{1，2}，2〉}定义(n阶笛卡儿积)设A1,A2,…,An是n个集合(n≥2)。它们的n阶笛卡儿积A1×A2×…×An={〈x1,x2,…,xn〉

8、x1∈A1∧x2∈A2∧…∧xn∈An}当A1=A2

9、=…=An=A时，可将它们的n阶笛卡儿积简记为An例如，A={a，b}，则A3={〈a，a，a〉，〈a，a，b〉，〈a，b，a〉，〈a，b，b〉，〈b，a，a〉，〈b，a，b〉，〈b，b，a〉，〈b，b，b〉}关系及其表示什么是关系关系的表示所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性例如：甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，如果任何两人之间都要赛一场，那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲，甲胜丙，乙胜丙，这个结果可以记作{〈乙，甲〉，〈甲，丙〉，〈乙，丙〉}其中〈x，y〉表示x胜y。它表示了集合{甲、乙、丙}中元素之间的一种胜负关系1、什么是关系再例如，有甲

10、，乙，丙三个人和四项工作α，b，c，d。已知甲可以从事工作α和b，乙可以从事工作c，丙可以从事工作α和d。那么人和工作之间的对应关系可以记作R={<甲,α>,<甲,b>,<乙,c>,<丙,α>,<丙,d>}这是人的集合{甲，乙，丙}到工作的集合{α，b，c，d}之间的关系。除了二元关系以外还有多元关系本书只讨论二元关系。以后凡是出现关系的地方均指二元关系下面给出二元关系的一般定义定义（二元关系）如果一个集合为空集或它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R。对于二元关系R，如果〈x，y〉∊R，则记作xRy。设A，B为集合，A✕B的任何子集所定义的二

11、元关系称作