离散数学》二元关系和函数

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1、第4章二元关系和函数Relation在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。本章把函数概念予以推广⑴定义域为一般的集合，支持离散应用。⑵把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。4.6函数的定义与性质函数定义定义设F为二元关系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的函数值.例1F1={,,}F2={,}F1是函数,F2不是函数4.6函数的定义与性质函数与关系的区别从

2、A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如下区别：A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，即dom(f)=A；但dom(R)R若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即(f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，；但(xRy)(xRz)得不到y=z4.6函数的定义与性质例1设A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分别确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。(1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}(2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)}(3)f={(1,7),(2,6)

3、,(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)}解（1）能构成函数，因为符合函数的定义条件。（2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像，不满足像的存在性。（3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个像7和9，不满足像的惟一性。4.6函数的定义与性质函数相等定义设F,G为函数,则F=GFG∧GF一般使用下面两个条件：(1)domF=domG(2)x∈domF=domG都有F(x)=G(x)实例函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.4.6函数的定义与性质从A到B的函数定义设A,B为集合,如果f

4、为函数domf=AranfB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.实例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数4.6函数的定义与性质B上A定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”，符号化表示为BA={f

5、f：A→B}计数：

6、A

7、=m,

8、B

9、=n,且m,n>0,

10、BA

11、=nm.A=,则BA=B={}.A≠且B=,则BA=A=.4.6函数的定义与性质实例例2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.解BA={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,a>,<2,a>

12、,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}4.6函数的定义与性质函数的像定义设函数f：A→B,A1A.A1在f下的像：f(A1)={f(x)

13、x∈A1}函数的像f(A)=ranf注意：函数值f(x)∈B,而像f(A1)B.例3设f：N→N,且令A={0,

14、1},B={2},那么有f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}4.6函数的定义与性质函数的性质定义设f：A→B,（1）若ranf=B,则称f：A→B是满射的.（2）若任意x1，x2A而且不相等，都有f(x1)与f(x2)不相等,则称f：A→B是单射的.（3）若f：A→B既是满射又是单射的,则称f：A→B是双射的f满射意味着：yB,都存在x使得f(x)=y.f单射意味着：f(x1)=f(x2)x1=x24.6函数的定义与性质注意：①由单射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在单射函数f:X→Y，则

15、X

16、≤

17、Y

18、。②由

19、满射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在满射函数f:X→Y，则

20、X

21、≥

22、Y

23、。③由双射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在双射函数f:X→Y，则

24、X

25、=

26、Y

27、。4.6函数的定义与性质实例例4判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：R→Z,f(x)=x(4)f：R→R,f(x)=2x+1(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.4.6函数的定义与性质解(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得

28、极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+→R,f(x)=lnx