第四部分二元关系和函数教学课件.ppt

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1、第四章二元关系和函数1本章主要内容:集合的笛卡尔积与二元关系关系的运算关系的性质关系的闭包等价关系和偏序关系函数的定义和性质函数的复合和反函数24.1集合的笛卡儿积与二元关系定义4.1由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例如,<1,－1>,<2,0>,(1,1),(－1,1),…都代表坐标系中不同的点。3有序对的特点：1.当xy时,。2.两个有序对相等,即＝的充分必要条件是x＝u且y＝v。4定义4.2一

2、个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元素是一个有序n－1元组,一个有序n元组记作,即＝<,xn>例如,空间直角坐标系中点的坐标<1,－1,3>,<2,4.5,0>等都是有序3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。5定义4.3设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作A×B。符号化表示为A×B＝{(x,y)

3、x∈A∧y∈B}.例如,A＝{a,b},B＝{0,1,2},则A×B＝{,,

4、>,,,}；B×A＝{<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。6如果A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B和B×A中都有多少个元素?mn个若A×B,则有x∈A和y∈B。若A×B,则有xA或者yB.7笛卡儿积运算的性质:1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,即B＝B×＝2.当A≠B且A,B都不是空集时,有A×B≠B×A。所以,笛卡儿积运算不适合交换律。3.当A,B,C都不是空集时,有(A×B)×C≠A×(B×C).所以,笛卡儿积运算不适合结合律。84.笛卡儿积运算对∪或∩运

5、算满足分配律即A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)。9证明A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)证明对于任意的,A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(yB∨y∈C)(x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C)A×B∨∈A×C(x,y)∈(A×B)∪(A×C).所以A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。10例4.1设A={1,2},求P(A)×A解P(A)×A＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,2}＝{

6、<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>,<{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>}11例4.2设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。(1)(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)；(2)(A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)；(3)(A—B)×(C—D)＝(A×C)－(B×D)；(4)(AB)×(CD)＝(A×C)(B×D)。12解.(1)成立.因为对于任意的,(A∩B)×(C∩D)xA∩B∧yC∩DxA∧xB∧yC∧yDA×C∧B

7、×D(A×C)∩(B×D)(2)不成立。举一反例如下：若A＝D＝,B＝C＝{1}则有：(A∪B)×(C∪D)＝B×C＝{<1,1>},(A×C)∪(B×D)＝∪＝。(3)和(4)都不成立13例4.3设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假.(1)若AC且BD,则有A×BC×D。(2)若A×BC×D,则有AC且BD.解(1)命题为真。请思考：为什么？(2)命题为假.当A＝B＝时,或者A≠且B≠时,该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C＝D＝,B＝｛1｝,这时A×BC×D,但BD。14定义4

8、.4设A1,A2,…,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡儿积,记作A1×A2×…×An,其中Al×A2×…×An＝{

9、x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}。例如:A={a,b},则A3={,,,,,,,}15二元关系Relation所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性.例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如