第七章-二元关系ppt课件.ppt

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1、12一、有序对由两个元素x和y(允许x=y)，按一定顺序组成的二元组称为有序对，记作。(1)有序性（当xy时）(2)=的充分必要条件是x=uy=v如：平面直角坐标系中点的坐标<3,4>。3二、笛卡儿积设A,B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作AB。AB={

2、xAyB}4例：A={1,2},B={a,b,c}AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>}BA={,,

3、,1>,,,}注意：若

4、A

5、=m,

6、B

7、=n,则

8、AB

9、=mn。52.性质：①对任意集合A，A=A=②不适合交换律ABBA(当ABAB时)③不适合结合律(AB)CA(BC)(当ABC时)④对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)6证明：A(BC)=(AB)(AC)证：任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y

10、∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).7⑤ACBDABCD证明：任取ABxAyBxCyDCD注意：ACBD是否推出ABCD？不一定！反例如下：A={1}，B={2},C=D=89一、二元关系的定义10如果一个集合满足以下条件之一：(1)集合非空,且它的元素都是有序对；(2)集合是空集，则称该集合为一个二元关系,简称为关系，记作R。如果∈R,可记作xRy；如

11、果R,则记作xy。如：R={<1,2>,},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.1.二元关系112.从A到B的二元关系设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，当A=B时则叫做A上的二元关系。如：A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1，R2，R3，R4是从A到B的二元关系，R3和R4同时也是A上的二元关系。

12、A

13、=n,

14、B

15、=m，

16、A×B

17、=nm，从A到B的二元关系有2n

18、m个，A上的二元关系有个。123.A上的某些特殊二元关系①空关系：对于任何集合A，是A×A的子集，叫做A上的空关系。②全域关系EA：EA={

19、x∈A∧y∈A}=A×A③恒等关系IA：IA={

20、x∈A}如，A={1,2}，则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}134.A上的某些常用二元关系①小于等于关系LA：LA={

21、x,y∈A∧x≤y}，AR，②整除关系DB：DB={

22、x,y∈B∧x整除y}，BZ*,Z*为非0整数集。③包含关系R：R={

23、x,y∈A∧xy},A

24、是集合族。类似的还可以定义大于等于关系，小于关系，大于关系,真包含关系等等。14如：A={1,2,3},B={a,b},则LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}A=P(B)={,{a},{b},{a,b}},则A上的包含关系R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}15二、二元关系的表示法161.集合表示法关系是一种特殊的集合(

25、元素为有序对)。列举法谓词表示法例：设A={1,2,3,4}，R={

26、x/y是素数}是A上的关系，用列举法表示R。解：R={<2,1><3,1><4,2>}172.关系矩阵设A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R是从A到B的一个二元关系，称矩阵MR=[rij]nm为关系R的关系矩阵，其中：1，Rrij=(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)0，R注意：A的元素个数确定行数；B的元素个数确定列数。若