3、,1>,,,}注意:若
4、A
5、=m,
6、B
7、=n,则
8、AB
9、=mn。52.性质:①对任意集合A,A=A=②不适合交换律ABBA(当ABAB时)③不适合结合律(AB)CA(BC)(当ABC时)④对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)6证明:A(BC)=(AB)(AC)证:任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y
10、∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).7⑤ACBDABCD证明:任取ABxAyBxCyDCD注意:ACBD是否推出ABCD?不一定!反例如下:A={1},B={2},C=D=89一、二元关系的定义10如果一个集合满足以下条件之一:(1)集合非空,且它的元素都是有序对;(2)集合是空集,则称该集合为一个二元关系,简称为关系,记作R。如果∈R,可记作xRy;如
11、果R,则记作xy。如:R={<1,2>,},S={<1,2>,a,b}.R是二元关系,当a,b不是有序对时,S不是二元关系根据上面的记法,可以写1R2,aRb,ac等.1.二元关系112.从A到B的二元关系设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上的二元关系。如:A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系。
12、A
13、=n,
14、B
15、=m,
16、A×B
17、=nm,从A到B的二元关系有2n
18、m个,A上的二元关系有个。123.A上的某些特殊二元关系①空关系:对于任何集合A,是A×A的子集,叫做A上的空关系。②全域关系EA:EA={
19、x∈A∧y∈A}=A×A③恒等关系IA:IA={
20、x∈A}如,A={1,2},则EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}IA={<1,1>,<2,2>}134.A上的某些常用二元关系①小于等于关系LA:LA={
21、x,y∈A∧x≤y},AR,②整除关系DB:DB={
22、x,y∈B∧x整除y},BZ*,Z*为非0整数集。③包含关系R:R={
23、x,y∈A∧xy},A
24、是集合族。类似的还可以定义大于等于关系,小于关系,大于关系,真包含关系等等。14如:A={1,2,3},B={a,b},则LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}A=P(B)={,{a},{b},{a,b}},则A上的包含关系R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}15二、二元关系的表示法161.集合表示法关系是一种特殊的集合(
25、元素为有序对)。列举法谓词表示法例:设A={1,2,3,4},R={
26、x/y是素数}是A上的关系,用列举法表示R。解:R={<2,1><3,1><4,2>}172.关系矩阵设A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm},R是从A到B的一个二元关系,称矩阵MR=[rij]nm为关系R的关系矩阵,其中:1,Rrij=(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)0,R注意:A的元素个数确定行数;B的元素个数确定列数。若