第一章矩阵理论(管理数学基础)ppt课件.ppt

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1、第一节线性变换及其矩阵表示一、线性空间与线性变换1、线性空间及其基组空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X。其中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距离。集合X＝{x

2、x满足的条件}。封闭：X中任元素经某运算后的结果仍属于X，则称X对该运算封闭。（如：实数集R，任x1、x2∈R，x1+x2∈R，称R对加法封闭。实际上R对乘法也封闭。）1线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为：设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条

3、件：加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且(1)交换律：x+y=y+x；(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)；(3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X的零元素）；(4)有负元：对任意x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y称为x的负元素）。2数乘运算“”满足：对任意α∈K，x∈X，αx∈X，且(1)对任意的β∈K，α(βx)=(αβ)x；(2)1x=x；(3)对任意的y∈X，α(x+y)=αx+αy；(4)对任意的β∈K，(α+β)x＝αx+βx。则称X为数域K上的线性空间

4、。当K是实数域R时，X称实线性空间；当K是复数域C时，X称复线性空间。X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算。34567891011二、方阵的特征值与特征向量121314151617三、相似矩阵及其性质1819201.2方阵在相似变换下的标准形1.2.1方阵的行列式因子、不变因子、初等因子1.2.2方阵相似的条件1.2.3方阵在相似变换下的若当标准形1.2.4方阵在相似变换下的有理标准形211.2.1方阵行列式因子、不变因子、初等因子1.行列式因子定义1.7גE-A中所有非零k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称

5、为גE-A的k级行列式因子，记为22解：考虑其3级子式考虑其所有的3级子式(只有一个)：1.7求A的各级行列式因子23所以考虑其所有的2级子式，因为有一个2级子式所以考虑其所有的1级子式，因为גE-A中的有元素-1,所以242.不变因子定理1.4גE-A总可以经初等变换化为25可以证明，גE-A在初等变换下秩与行列式因子不变，由此得出不变因子与行列式因子间的关系：26计算方法273.初等因子28计算方法29301.2.2方阵相似的条件定理1.6方阵A与B相似的充要条件是：A与B有全同的不变因子。而且还可以得出以下推论：方阵A与E

6、相似的充要条件是A与B有全同的初等因子31321.2.3方阵在相似变换下的若当标准形定理1.7设n阶方阵A的全部初等因子为：由此称J在相似变换下的若当标准形，或称若当法式。J中的对角块称为相应于的一个阶若当块。333435361.2.4方阵在相似变换下的有理标准形定义给定多项式f(ג)=由f(ג)构成的n阶方阵称为f(ג)的伴侣方阵373839401.3方阵特征值的估计4142434445464748495051525354555657581.4矩阵分析59606162636465666768697071727374757677

7、781.5应用举例一：线性动态系统79801.5.1线性动态系统及其状态空间表达式系统，是由相互关联、相互作用的组成部分结合而成的具有特定功能的有机整体，可分为静态与动态、开放与封闭、线性与非线性等类型。动态系统，是指具有随时间而变化的特性的系统，对动态系统的描述，依时间可分为连续或离散两种情形，用微分方程（如，其中表示的分量对求导后的向量）或差分方程（如）表示。线性动态系统，是指可用线性微（差）分方程描述的动态动态系统，主要考虑时间为连续的情况。80811.5.1线性动态系统及其状态空间表达式能够确定系统运动状态的最少个数的一

8、组变量，称为状态变量，记为称为状态变量。以状态变量为基底的维空间，称为状态空间。由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程，其中为状态向量，为状态系数阵，为输入系数向量（当个输入时，为矩阵），81821.5.1线性动态系统及其状态空间表达式为输入变量（当个输入时，为向量）。输出与状态向量间的关系式称为输出方程，其中为输出向量（当为单输出），为输出系数矩阵，为输入系数向量。状态方程和输出方程合起来构成的对系统动态的完整描述，即称为系统的状态空间表达式。当系数、、、与无关时，称系统为定常（时不变）系统，否则称时变系统。82

9、831.5.2线性定常系统的解1.齐次解设系统状态方程为，若初始时刻时的状态给定为，则有唯一确定的解：2.非齐次解设系统状态方程为，则相应于初始时刻的解为：83841.5.2线性定常系统的解例1.35求下列系统在单位阶跃函数（）作用下的解，解：的特征值对于，求得