矩阵理论（ppt课件）.ppt

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1、矩阵理论目的和内容矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具；现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发展和普及，矩阵分析显得越来越重要；举例教学目的：掌握主要的概念；能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号sup(*)、inf()、动态系统的描述电路系统LCR2R1u(t)u(t)iLiC代入(1)代入(2)(1)(2)动态系统的描述(Continue)写成矩阵形式：AXBUYCDXU动态系统的描述(Continue)机械系统的振动m

2、y(t)F(t)写成矩阵形式：AXBU动态系统的描述(Continue)离散系统离散时间系统x(n)y(n)动态系统的描述(Continue)引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组………+…………00=0动态系统的描述(Continue)……写成矩阵形式:相关概念及定义矩阵(Matrix)矩阵是数域F上的m×n个数构成的数表：称为F上m行、n列的矩阵，记为A称为A的第i行、第j列元素，记为(A)iji=1,…,m,j=1,…,n相关概念及定义（continue）数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为：若，，则称矩阵A与B同型数域（Field）若数集F含有数1且对四则运

3、算封闭，则称F为数域映射（Mapping）若，，若存在一个对应关系（或对应法则，correspondencerelationshiporcorrespondencerule），，有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一个映射f，记作：f:X→Y，或y=f(x)映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X上的泛函（functional）相关概念及定义（continue）直积集设A，B是给定的集合，称为A与B的直积集，简称积集、直积举例：，，那么表示XOY平面上矩形中点的集合表示XOY平面

4、上所有点的集合A×B中的元素被称为有序对，即当时，直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：记为：相关概念及定义（continue）代数运算如果通过法则，，得到唯一的，则称为A与B的直积集到C的一个代数运算：称c为和经运算得出的结果，记为：集合A对运算封闭：若是的一个代数运算，则称集合A对运算封闭N和Z不是数域Q、R和C都是数域Q是最小的数域C是最大的数域相关概念及定义（continue）在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等矩阵相等设，，若则称矩阵A与B相等，记为A=B负矩阵对称-A为A的负矩阵零矩阵元素全为零的矩阵，称为零

5、矩阵，记为0，i=1,…,m,j=1,…,n相关概念及定义（continue）方阵（Squarematrix）行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：称为主对角线元素称为副对角线元素对角阵（diagonalmatrix）除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。单位阵（Identitymatrix）主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。简记为I。N阶单位阵记为矩阵运算矩阵加法：设，称为矩阵A与B之和。矩阵加法是的代数运算，性质：交换律：A+B=B+A结合律：(A+B)+C=A+(B+C)A+0=

6、0+A=AA+(-A)=(-A)+A=0矩阵减法：设，称为矩阵A与B之差。矩阵运算（Continue）数乘矩阵：设，称为λ与之积。推论数乘矩阵是的一个代数运算，性质：1。2。分配律3。分配律4。结合律矩阵乘法:设令矩阵运算（Continue）称为A与B之积(1)A的列数=B的行数;(2)AB的行数为A的行数,列数为B的列数;(3)AB的i行j列元素为A的i行元素与B的j列对应元素之积之和举例：矩阵运算（Continue）AB≠BA：矩阵乘法不满足交换律A≠0；B≠0，但AB=0。矩阵乘法是的一个代数运算，它有以下性质：1°(AB)C=A(BC)结合律2°(A+B)C=AC+BC分配

7、律A(B+C)=AB+AC分配律3°(λA)B=A(λB)=λ(AB)结合律4°A是方阵：AI=IA=A矩阵运算(Continue)方阵的幂（Power)设称为A的k次幂，并定义因为矩阵乘法满足结合律，所以又因矩阵乘法不满足交换律，一般地：转置矩阵和分块矩阵转置矩阵（Transposedmatrix）可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究设称为A的转置矩阵，有的教科书上记为易见：转置矩阵具有以下性质：可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形转置矩阵和分块矩阵分块矩阵