矩阵理论_第三章__矩阵的分解课件.ppt

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1、第三章矩阵的分解本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的三角分解，满秩分解，奇异值分解，极分解，谱分解。矩阵的三角分解一.方阵的三角分解定理1设，那么可唯一地分解为或其中为酉矩阵，是对角线元素为正的上三角矩阵，是对角线元素为正的下三角矩阵。证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组并且向量组之间有如下关系其中，于是有其中，显然矩阵是一个正线上三角矩阵。下面考虑分解的唯一性。设有两种分

2、解式那么有注意到是酉矩阵，而是一个对角线元素为正的上三角矩阵，由前面的结论可知因此有因为有，所以，按照分解的存在性可知其中是对角线元素为正的三角矩阵。于是其中是对角线元素为正的下三角矩阵，而.推论：设是Hermite正定矩阵，则存在唯一正线上三角复矩阵和正线下三角复矩阵,使得。定理2：见书上89页。如何分解？好处体现在解方程组。（2）设，则可以唯一地分解为其中是一个阶酉矩阵，是阶正线上三角矩阵。定理3：（1）设，则可以唯一地分解为其中是阶正线下三角矩阵，是一个阶酉矩阵。二.任意矩阵的三角分解例1：求

3、下列矩阵的正交三角分解解：（1）是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，补充，使线性无关。将这4个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组再将其单位化，得到一组标准正交向量组这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成将上面的式子矩阵化，即为（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶正线上三角矩阵使得.练习1：将分解为，其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵。练习2：将分解为，其中为正线下三角矩阵。2.矩阵的满秩分解定理1：设为任意矩阵，则存在使得，其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵(称此分解为矩阵

4、的满秩分解)。证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施初等行变换可以将其化成即存在使得于是有其中如果的前列线性相关，那么只需对作初等列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足从而其中例分别求下面三个矩阵的满秩分解北京理工大学高数教研室*解（1）对此矩阵只实施初等行变换可以得到由此可知，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取同样，我们也可以选取（2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩

5、矩阵均可以。选取也可以选取（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：定理：如果均为矩阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足（2）3.矩阵的奇异值分解引理1：对于任何一个矩阵都有引理2：对于任何一个矩阵都有与都是半正定的Hermite-矩阵。设，是的特征值，是的特

6、征值，它们都是实数。如果记特征值与之间有如下关系。定理：设，那么同时，我们称为矩阵的正奇异值，简称奇异值。例求下列矩阵的奇异值解（1）由于显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。例2证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。定理设，是的个奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得其中，且满足。证明：由于，所以的特征值为因为是一个Hermite阵，所以存在阶酉矩阵且满足将酉矩阵按列进行分块，记其中于是有从而有令，则有选取使得是酉矩阵，即有即的个列是两两正交

7、的单位向量。另外，有由上述式子可得这里，要注意。我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式为矩阵的奇异值分解式。如何求此分解表达式？例：求下列矩阵的奇异值分解表达式解：（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有令，其中选取，使得为酉矩阵。于是可得奇异值分解式为（2）练习：求下面矩阵的奇异值分解式使得且这样的分解式是唯一的。同时有称分解式为矩阵的极分解表达式。定理：设，那么必存在酉矩

8、阵与正定的H-矩阵4.矩阵的极分解与半正定H-矩阵使得且满足证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知，存在酉矩阵使得定理：设，则存在其中，为的个奇异值。于是有如果令从而有其中是半正定的H-矩阵，是酉矩阵。由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。定理：设，则是正规矩阵的充分必要条件是其中是半正定的H-矩阵，是酉矩阵，且5.矩阵的谱分解我们主要讨论两种矩阵的谱分解：正规矩阵与可对角化矩阵。设为正规矩阵，那么存在使得其中是矩阵的特征值所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵