《矩阵的分解》PPT课件.ppt

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1、第4章、矩阵的分解MatrixFactorizationandDecomposition矩阵分解的概述矩阵的分解：A=A1+A2+…+Ak矩阵的和A=A1A2…Am矩阵的乘积矩阵分解的原则：实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形4.1LU分解(图灵Turing,1948)LU分解：AFnn，存在下三角

2、形矩阵L，上三角形矩阵U，使得A=LU。Application:可以简化求解线性方程的算法4.2QR分解1.利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解Theorem设矩阵ACmn，R(A)=n(列满秩)。则存在非奇异上三角阵R，和矩阵Q，QHQ=E，使得A=QR。Remark:这样的分解称之为QR分解。Application:可以求最小二乘解实施步骤G-S正交化单位化4.2QR分解例P090例4.2.1此例中矩阵是列满秩的例P091例4.2.2此例表明即使矩阵不是列满秩的，也可以用G-S正交化方法，但是其QR分解

3、不是唯一的。4.2QR分解对于一般的方阵，无论其是否列满秩，都可以利用Householder方法得到QR分解。例P095例4.2.34.3满秩分解矩阵的满秩分解对秩为r的矩阵AFmn，存在秩为r的矩阵BFmr，CFrn，使得A=BC为A的满秩分解。列满秩行满秩已知的结论满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法例求矩阵A的满秩分解总结：矩阵的满秩分解的做法对ACmn做行初等变换得行最简形H，取H的前r行所成矩阵为C，取A的列向量组的最大无关组所成矩阵为B，则BCmr，CCrn，其秩序均为r，且A=BC。

4、例P098例4.3.2；例P098例4.3.1（此矩阵为列满秩矩阵）4.4奇异值分解(SingularValueDecomposition)Problem:矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解:ACm×n，酉矩阵UCm×m,VCn×n,使得A=UVH。矩阵A等价于=奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题A的奇异值分解依赖于正规矩阵AHA的酉相似分解的。一、矩阵A的奇异值及其性质1、矩阵AHA和AAH的性质：ACm×n，AHACn×n，AAHCm×m，都是Hermite矩阵。Theorem2.7.8（

5、P052）秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。AHA和AAH的非零特征值相等。AHA和AAH是半正定矩阵。AHA和AAH的特征值是非负实数：12n2、奇异值的定义：（P099）ACm×n，秩（A）=r，设AHA的特征值12r0，r+1=r+2==n=0，则矩阵的奇异值二、矩阵的奇异值分解1、Theorem4.4.1（P099）设ACm×n，秩（A）=r，则存在酉矩阵UCm×m，VCn×n，使得证明思想：Step1.AHA正规，VHAHAV=，酉矩阵V。例求矩阵A的奇异值分

6、解，A=。Step2.令,得U1=[u1，u2，…，ur],扩充为标准正交基酉矩阵U。2、矩阵U，V的空间性质：V=[v1，v2，，vr，，vn]=[V1V2]Cn×n的列向量是空间Cn的标准正交基。V2的列向量是空间N（A）的标准正交基。V1的列向量是空间N（A）的标准正交基。U=[u1，u2，，ur，，um]=[U1U2]Cm×m的列向量是空间Cm的标准正交基。U1的列向量是R（A）的标准正交基。U2的列向量是R（A）的标准正交基。左奇异向量右奇异向量例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解计算机处理

7、图像技术的第一步是图像的数字化存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵A=（aij）m×n来存储。矩阵A的元素aij是一个正的数，它相应于象素的灰度水平（graylevel）的度量值。由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的条件下，将存储一个m×n阶矩阵需要存储的m×n个数减少到n+m+1的一个倍数。压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数字矩阵A的奇异值分

8、解为：A=UVT，其展开式：压缩矩阵A的方法是取一个秩为k（kr）的矩阵Ak来逼近矩阵A。Ak按如下方法选取：有在秩为k（kn）的所有矩阵中，矩阵Ak所对应的图象和矩阵A所对应的图象最相近。一般的，k越大图象就越清晰。经典的方法是选取接近k，使Ak的存储量比A的存储量减少20%。存储矩阵Ak只需要