《矩阵奇异值分解》PPT课件

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1、第三节奇异值分解矩阵的奇异值分解在矩阵特征值问题，最小二乘法问题及广义逆矩阵问题等有重要应用矩阵的等价标准型定理：设则存在使得右式称为矩阵A的等价标准型酉等价：设若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得则称A与B酉等价。矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。引理1证明设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则AHAx=x由于AHA为Hermite矩阵，故是实数。又同理可证AAH的特征值也是非负实数。证明设x是方程组AHAx=0的非0解，引理2则由得对于Hermite矩阵AHA，AAH，设AHA，AAH有r个非0特征值，分别记为即：AHA与AA

2、H非0特征值相同，并且非零特征值的个数为奇异值的定义说明：A的正奇异值个数恰等于，并且A与AH有相同的奇异值。定理酉等价的矩阵有相同的奇异值由称为矩阵A的酉等价标准形.奇异值分解定理证明由于AHA是Hermite矩阵，存在n阶酉矩阵V,使其中将矩阵V分块，则有：比较等式两端得：从而有设即U1的r个列是两两正交的单位向量，则于是推论在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量，V的列向量为AHA的特征向量.说明：此定理仅是奇异值分解的必要条件，但不是充分条件。1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;5]构造奇异值分解4]扩充U1为

3、酉矩阵U=(U1,U2)3]令2]记奇异值分解方法1—利用矩阵AHA求解例1、求矩阵的奇异值分解可求得的特征值为对应的特征向量依次为于是可得：令其中计算：构造：则的奇异值分解为奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;4]扩充V1为酉矩阵V=(V1,V2)5]构造奇异值分解2]记3]令例求矩阵A的奇异值分解利用矩阵AAH求解