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1、精选文档§2矩阵的奇异值分解定义设A是秩为r的mn复矩阵，ATA的特征值为12Lrr1Ln0.则称iJ：。1,2,L,n)为A的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A的奇异值的个数等于A的列数，A的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：(1)A为正规矩阵时，A的奇异值是A的特征值的模；(2)A为半正定的Hermite矩阵时，A的奇异值是A的特征值；(3)若存在酉矩阵UCmm,VCnn,矩阵BCmn,使UAVB,则称A和B酉等价.酉等价的矩阵A和B有相同的奇异值.奇异值分解定理设A是秩为r(r0)的mn复矩阵，则存在m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵V,使得HUAV其中diag
2、(1,2,L,r),i(i1,2,L,r)为矩阵A的全部非零奇异值.证明设Hermite矩阵AHA的n个特征值按大小排列为可编辑精选文档12Lr1L0.则存在n阶酉矩阵V，使得HHVH(AHA)V将V分块为(V1V2)其中Vi,V2分别是V的前r列与后nr歹I」.并改写②式为AHAV则有HAHAV1V1HAHAV2O.由③的第一式可得)Er.V1HAHAV12，或者(AV1)H(AV1由③的第二式可得(AV2)H(AV2)O或者AV2O.令UiAVi1,则U；UiE「，即Ui的r个列是两两正交的单位向量.记作Ui(Ui,U2,L,Ur),因此可将Ui,U2,L,Ur扩充成Cm的标准正
3、交基,记增添的向量为uri,L,um，并构造矩阵U2(uri,L,um)，则U(Ui,U2)(Ui,U2,L,Ur,Uri,L,Um)可编辑精选文档是m阶酉矩阵,且有UiHUiEr，U2HUiO.可编辑精选文档于是可得UHAVUH(AV1，AV2)U1HU2H(U1OO)OO由①式可得AUOVH1U1v1HOO111H2U2v2LHrurvr.称④式为矩阵A的奇异值分解.值得注意的是：在奇异值分解中Ul,U2,L,Ur,Uri,L,Um是AAH的特征向量，而V的列向量是AHA的特征向量，并且AAH与AHA的非零特征值完全相同.但矩阵A的奇异值分解不惟一证明2设Hermite矩阵AHA
4、的n个特征值按大小排列为12Lrr1Ln0.则存在n阶酉矩阵V，使得HH12OVH(AHA)VO.②OOn将V分块为V(Vi,V2,L,Vn),它的n个列Vi,V2,L,Vn是对应于特征值1,2,L,n的标准正交的特征向量.为了得到酉矩阵U，首先考察Cm中的向量组Av1,Av2,L,Avr，由于当i不等于j时有HHHHH(Avi,Avj)(Avj)(Avi)vjAAvivjiviivjvi0可编辑精选文档所以向量组Avi,Av2,L,AVr是Cm中的正交向量组.又
5、
6、AVi
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8、2ViHAHAViiViHVi2,所以
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10、Av」i..1令Ui—AVi,i1,2,L,r,则得到C中的标准正
11、父向重组Ui,u2,L,Ur,把它扩充成为Cm中的标准正交基Ui,L,Ur,Uri,LUm,令U(U1,L,Ur,Ur1,LUm)则U是m阶酉矩阵.由已知及前面的推导可得AViiUi,i1,2,L,r;AVi0,ir1,L,n；从而AVA(V1,V2,L,Vn)(AV1,L,AVr,0,L,0)Ui,L1MUr,0,L,0)(U1,U2,L,Um)0LOLO故有AVUA,即UHAVA.一，一120.一.例1求矩阵A的奇异值分解.202解ATA524240的特征值为19,24,30,404的单位特征可编辑精选文档V1=(5,2,4),v23.5I(0,2,1)T”33(2,1,2)T.
12、所以501V—=263，；5432.5.52.5于是可得r(A)2,计算UAVi,则A的奇异值分解为可编辑精选文档可编辑精选文档300TUVT.020在A的奇异值分解中，酉矩阵V的列向量称为A的右奇异向量，V的前r列是AHA的r个非零特征值所对应的特征向量，将他们取为矩阵V1,则V(V1W2).酉矩阵U的列向量被称为A的左奇异向量，将U从前r列处分块为U(U1,U2)，由分块运算，有UHAVUHUH(AV1，AV2)U1HAV1U1HAV2uHAV1uHav2可编辑精选文档可编辑精选文档从而AV20，AVkUd.因此，有下列结果(1)V2的列向量组是矩阵A的零空间N(A){xAx0｝
13、的一组标准可编辑精选文档可编辑精选文档正交基;可编辑精选文档(2)U1的列向量组是矩阵A的列空间R(A){Ax}的一组标准正交基；(1)Vi的列向量组是矩阵A的零空间N(A){xAx0}正交补R(AH)的一组标准正交基；(1)U2的列向量组是矩阵A的列空间R(A){Ax}正交补N(AH)的一组标准正交基.在A的奇异值分解中，酉矩阵U和V不是惟一的.A的奇异值分解给出了矩阵A的许多重要信息.Hv1更进一步，由于U(Ui,U2,LUm),V(Vi,V2,L,V
