矩阵论 第四章 矩阵的分解课件.ppt

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1、第四章矩阵的分解本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极分解，谱分解。矩阵的满秩分解定理：设为任意矩阵，则存在使得其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵(我们称此分解为矩阵的满秩分解)。证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施初等变行换可以将其化成即存在使得于是有其中如果的前列线性相关，那么只需对作初等列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足从而其中例分别求下面三个矩阵的满秩分解北京理工大学高数教研室*解（1）对此矩阵只实施初等行变换可以得到由

2、此可知，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取同样，我们也可以选取（2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。选取也可以选取（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：定理：如果均为矩

3、阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足（2）矩阵的正交三角分解定理设，那么可唯一地分解为或其中为酉矩阵，是对角线元素为正的上三角矩阵，是对角线元素为正下三角矩阵。证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组并且向量组之间有如下关系其中，于是有其中，显然矩阵是一个正线上三角矩阵。下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式那么有注意到是酉矩阵，而是一个对角线元素为正的上三角矩阵，由前面的结论可知因此有因为有

4、，所以，按照分解的存在性可知其中是对角线元素为正的三角矩阵。于是其中是对角线元素为正的三角矩阵，而.此结论也可以被推广为定理：设，则可以唯一地分解为其中是阶对角线元素为正的三角矩阵，，即是一个次酉矩阵。证明：分解的存在性证明，同上面的例题完全一样。分解的唯一性证明。设则因为是正定的Hermite矩阵（为什么？），由正定二次型的等价定理可知，其三角分解是唯一的，故，进一步有。例1：求下列矩阵的正交三角分解解：（1）容易判断出，即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将的三个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量

5、组再将其单位化，得到一组标准正交向量组这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成将上面的式子矩阵化，即为（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶线正上三角矩阵使得.推论：设，则可分解为其中，是阶线正上三角矩阵，是阶线正下三角矩阵。矩阵的奇异值分解引理1：对于任何一个矩阵都有引理2：对于任何一个矩阵都有与都是半正定的Hermite-矩阵。设，是的特征值，是的特征值，它们都是实数。如果记特征值与之间有如下关系。定理：设，那么同时，我们称为矩阵的正奇异值，简称奇异值。例求下列矩阵的奇异值解（1）由于显然的

6、特征值为5，0，0，所以的奇异值为（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。例2证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。定理设，是的个奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得其中，且满足。证明：由于，所以的特征值为因为是一个H-阵，所以存在阶酉矩阵且满足将酉矩阵按列进行分块，记，其中于是有从而有记，这里令，那么容易验证选取使得是酉矩阵，则由上述式子可得这里，要注意。我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式为矩阵的奇异值分解式。如何求此分解表达式？特别要注意下面的关系式即由此可知的列向量就是的标准正交特征向

7、量；而的列向量就是的标准正交特征向量。例：求下列矩阵的奇异值分解表达式解：（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有于是可得奇异值分解式为（2）容易计算，那么的非零奇异值为，对应于特征值5，2的标准特征向量为由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，

8、2，0，0对应的两个标准正交特征向量由这四个标准正交特征向量组成矩阵，所以有于是可得奇异值分解式为练习：求下面矩阵的奇异值分解式推论：设，是的个奇异值，那么存在次酉矩阵使得矩阵的极分解定理：设，那么必存在酉矩阵与正定的H-矩阵使得且这样的分解式是唯一的。同时有称分解式为矩阵的极分解表达式。定理：设，则存在与半正定H-矩阵使得且满足证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知，存在酉矩阵使得其中，